Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線(xiàn)段OA、OB的長(zhǎng)（OA＜OB）是一元二次方程x2﹣18x+72＝0組的解．點(diǎn)C是直線(xiàn)y＝2x與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)，點(diǎn)D在線(xiàn)段OC上，OD＝2．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求直線(xiàn)AD的解析式；

（3）P是直線(xiàn)AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，則求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標(biāo)為(3，6)；（2）y＝﹣x+6；（3）存在，Q的坐標(biāo)為(﹣3，3)或(3，﹣3)或(3，﹣3)或(6，6)．

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析為y＝kx+b，解方程x2﹣18x+72＝0，得到的解即為OA，OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而知道A和B的坐標(biāo)，再把其橫縱坐標(biāo)分別代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直線(xiàn)y＝2x聯(lián)立解方程組，方程組的解即為點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）要求直線(xiàn)AD的解析式，需求出D的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)D在直線(xiàn)OC上因此可設(shè)D（a，2a），又因?yàn)?/span>OD＝2，由勾股定理可求出a的值，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，把A、D的坐標(biāo)代入，利用方程組即可求解．

（3）分四種情形：如圖2中，當(dāng)四邊形OAP1Q1是菱形時(shí)．當(dāng)四邊形OAP2Q2是菱形時(shí)．當(dāng)四邊形AOQ3P3是菱形時(shí)．當(dāng)四邊形OP4AQ4是菱形時(shí)，分別求解即可解決問(wèn)題．

（1）解方程x2﹣18x+72＝0，得到x＝6或12，

∵線(xiàn)段OA、OB的長(zhǎng)（0A＜OB）是方程組的解，

∴OA＝6，OB＝12，

∴A（6，O），B（0，12），

設(shè)直線(xiàn)AB的解析為y＝kx+b，

∴，

∴直線(xiàn)AB：y＝﹣2x+12，

聯(lián)立，

解得：，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6）

（2）如圖1中，設(shè)點(diǎn)D：（a，2a），作DF⊥OA于F．

由OD＝2，OF＝a，DF＝2a，可得a2+（2a）2＝（2）2，

得：a＝±2，

∵由圖得，a＞0，

∴a＝2．

∴D（2，4），

設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y＝kx+b

把A（6，0），D（2，4）代入得，

解得，

∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝﹣x+6；

（3）存在．如圖2中，

當(dāng)四邊形OAP1Q1是菱形時(shí)，AO＝AP1＝P1Q1＝6，

∵∠DAO＝45°，

∴P1（6﹣3，3），

∴Q1（﹣3，3），

當(dāng)四邊形OAP2Q2是菱形時(shí)，同法可得Q2（3，﹣3），

當(dāng)四邊形AOQ3P3是菱形時(shí)，∵∠AOP3＝90°，

∴四邊形OAQ3P3是正方形，可得Q3（6，6），

當(dāng)四邊形OP4AQ4是菱形時(shí)，

∵∠DAO＝∠OAQ4＝45°

∴∠P4AQ4＝90°，

∴四邊形OP4AQ4是正方形，

∴Q4（3，﹣3），

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，3）或（3，﹣3）或（3，﹣3）或（6，6）．