Question

【題目】如圖，拋物線（a、b、c為常數，a≠0）經過點A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出△QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請求出其中某一個點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（2，﹣12）；（3）這樣的Q點一共有5個，如：Q3（，）．

【解析】（1）設y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，a=1，∴y=（x+1）（x﹣6），即；

（2）存在，如圖1，分別過P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，設P（m，），四邊形PACB的面積為S，則PM=，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC===

當m=2時，S有最大值為48，這時==﹣12，∴P（2，﹣12）；

（3）這樣的Q點一共有5個，連接Q3A、Q3B，=；

因為Q3在對稱軸上，所以設Q3（，y），∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，由勾股定理得：，解得：y=，∴Q3（，）．