Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于C、D兩點(diǎn).已知： ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求該反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M在射線CA上，且MA=2AC，求△MOB的面積.

Answer 1

【答案】（1） ，D（0，-1）；（2）

【解析】試題分析：（1）過(guò)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，在Rt△AOE中，可根據(jù)OA的長(zhǎng)求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求反比例函數(shù)解析式，進(jìn)一步可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，可證得△MFC∽△AEC，可求得MF的長(zhǎng)，代入直線AB解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得△MOB的面積．

試題解析：

（1）如圖1，過(guò)A作AE⊥x軸于E，

在Rt△AOE中，tan∠AOC=，

設(shè)AE=a，則OE=3a，

∴OA==a，

∵OA=，

∴a=1，

∴AE=1，OE=3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1），

∵反比例函數(shù)y2=（k≠0）的圖象過(guò)A點(diǎn)，

∴k=﹣3，

∴反比例函數(shù)解析式為y2=﹣，

∵反比例函數(shù)y2=﹣的圖象過(guò)B（，m），

∴m=﹣3，解得m=﹣2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣2），

設(shè)直線AB解析式為y=nx+b，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，

解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣1，

令x=1，可得y=﹣1，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）；

（2）由（1）可得AE=1，

∵MA=2AC，

∴，

如圖2，過(guò)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，則△CAE∽△CMF，

∴，

∴MF=3，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，

代入直線AB解析式可得3=﹣x﹣1，解得x=﹣6，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，3），

∴S△MOB=OD（xB﹣xM）=×1×（+6）=，

即△MOB的面積為．