Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿射線方向以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿線段方向以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．

（1）求證；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，若雙曲線的圖象恰好過點(diǎn)，試求的值；

（3)連接，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)k=4.32;(3) ∴當(dāng)t=或t=或t=時(shí)為等腰三角形．

【解析】

（1）只需證明 ，即可完成證明；

（2）先確定ON的長(zhǎng)度，再確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（3）分當(dāng)NB=CB或CN=BN或CN=BC分類討論解答即可；

（1）證明：由題意：OA=6，AB=8，BC=6,OB=10，OM=t，ON=0.6t，

∴

又∵∠MON=∠AOB，

∴△ONM∽△OAB.

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，即OM=5時(shí)，ON=0.6t=3

過N作NF⊥y軸,NE⊥x軸,設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）

∴sin∠COB=

∴FN=1.8

同理:NE=2.4

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(1.8,2.4)

∵雙曲線的圖象恰好過點(diǎn)

∴k=2.4×1.8=4.32

(3)①當(dāng)NB=CB時(shí),即10-0.6t=6,解得t= 時(shí), 為等腰三角形．

②當(dāng)CN=BN時(shí),即N在CB的垂直平分線上,

∴N為OB的中點(diǎn)

∴ON=5=0.6t

∴t=

③當(dāng)CN=BC=6時(shí),設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(3a,4a),則ON=5a=0.6t

∴ 即,解得a=2或a=

當(dāng)a=2時(shí),ON=10,N點(diǎn)和B點(diǎn)重合,不能構(gòu)成三角形,舍去;

當(dāng)a=時(shí), ON=5a=2.8=0.6t,解得t=

∴當(dāng)t=或t=或t=時(shí)為等腰三角形．