Question

如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G，H分別為AD，BC的中點(diǎn)，試證明EF和GH互相平分．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形的性質(zhì)，即可證得∠GEF=∠BFH，則EG和FH平行且相等，即可證明四邊形EHFG是平行四邊形，從而證明EF和GH互相平分．

解答：證明：∵AE⊥BD，G是AD的中點(diǎn)，即EG是直角△AED斜邊AD上的中線，
∴EG=

1

2

AD=DG，
同理，F(xiàn)H=

1

2

BC=BH，
又∵平行四邊形ABCD中，AD=BC，
∴EG=FH=DG=BH．
∴∠GDE=∠GED，∠FBH=∠BFH，
又∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GDE=∠FBH，
∴∠GEF=∠BFH，
∴EG∥FH，
又∵EG=FH，
∴四邊形EHFG是平行四邊形，
∴EF和GH互相平分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明兩線段互相平分的問(wèn)題常用的思路是轉(zhuǎn)化為證明平行四邊形的問(wèn)題．