【題目】如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接BE,CD,點(diǎn)M、N、P分別是BE、CD、BC的中點(diǎn).
(1)觀察猜想:圖1中,△PMN的形狀是 ;
(2)探究證明:把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,△PMN的形狀是否發(fā)生改變?并說明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=1,AB=3,請直接寫出△PMN的周長的最大值.
【答案】(1) 等邊三角形;(2) △PMN的形狀不發(fā)生改變,仍然為等邊三角形,理由見解析;(3)6
【解析】分析:(1)如圖1,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,則BD=CE,再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PM∥CE,PM=CE,PN∥AD,PN=BD,從而得到PM=PN,∠MPN=60°,從而可判斷△PMN為等邊三角形;
(2)連接CE、BD,如圖2,先利用旋轉(zhuǎn)的定義,把△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△CAE,則BD=CE,∠ABD=∠ACE,與(1)一樣可得PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD,則計算出∠BPM+∠CPN=120°,從而得到∠MPN=60°,于是可判斷△PMN為等邊三角形.
(3)利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、A、D共線時取等號)得到BD的最大值為4,則PN的最大值為2,然后可確定△PMN的周長的最大值.
詳解:(1)如圖1.
∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°.
∵AD=AE,∴BD=CE.
∵點(diǎn)M、N、P分別是BE、CD、BC的中點(diǎn),
∴PM∥CE,PM=CE,PN∥AD,PN=BD,
∴PM=PN,∠BPM=∠BCA=60°,∠CPN=∠CBA=60°,
∴∠MPN=60°,∴△PMN為等邊三角形;
故答案為:等邊三角形;
(2)△PMN的形狀不發(fā)生改變,仍然為等邊三角形.理由如下:
連接CE、BD,如圖2.
∵AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°,
∴把△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△CAE,
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
與(1)一樣可得PM∥CE,PM=CE,PN∥AD,PN=BD,
∴PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD,
∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN為等邊三角形.
(3)∵PN=BD,∴當(dāng)BD的值最大時,PN的值最大.
∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、A、D共線時取等號)
∴BD的最大值為1+3=4,∴PN的最大值為2,∴△PMN的周長的最大值為6.
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(1)寫出圖 2 所表示的數(shù)學(xué)等式: ;
(2)已知 a b c 12 ,ab bc ac 40 ,利用(1)中所得結(jié)論.求abc的值;
(3)圖 3 中給出了若干個邊長為 a 和邊長為 b 的小正方形紙片、若干個長為 b 寬為 a 的長方 形紙片,選用這些紙片拼出一個圖形,使得它的面積是 2a 7ab 3b .畫出該圖形,并利用該圖形把多項(xiàng)式 2a 7ab 3b分解因式.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB=AC.延長BC到點(diǎn)D,使CD=CA,連接AD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①當(dāng)∠ABC的度數(shù)為 時,四邊形AOCE是菱形;
②若AE=6,BE=8,則EF的長為 .
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