【題目】如圖,(圖1,圖2),四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,點(diǎn)E在線段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N, FN⊥BC.
(1)若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)(如圖1),AE與EF相等嗎?
(2)點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)(如圖2),設(shè)BE=x,△ECF的面積為y。
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x取何值時(shí),y有最大值,并求出這個(gè)最大值.
【答案】(1)AE=EF;(2)①y=-x2+2x(0<x<4),②當(dāng)x=2,y最大值=2.
【解析】
(1)在AB上取一點(diǎn)G,使AG=EC,連接GE,利用ASA,易證得:△AGE≌△ECF,則可證得:AE=EF;
(2)同(1)可證明AE=EF,利用AAS證明△ABE≌△ENF,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FN=BE,再表示出EC,然后利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y,然后整理再根據(jù)二次函數(shù)求解最值問(wèn)題.
(1)如圖,在AB上取AG=EC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
有∵AG=EC ,∴BG=BE ,
又∵∠B=90°,
∴∠AGE=135°,
又∵∠BCD=90°,CP平分∠DCN,
∴∠ECF=135°,
∵∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AGE和△ECF中,
,
∴△AGE≌△ECF,
∴AE=EF;
(2)①∵由(1)證明可知當(dāng)E不是中點(diǎn)時(shí)同理可證AE=EF,
∵∠BAE=∠NEF,∠B=∠ENF=90°,
∴△ABE≌△ENF,
∴FN=BE=x,
∴S△ECF= (BC-BE)·FN,
即y= x(4-x),
∴y=- x2+2x(0<x<4),
②,
當(dāng)x=2,y最大值=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD =8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC
重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【題目】某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,決定實(shí)行兩級(jí)收費(fèi)制度.若每月用水量不超過(guò)14噸(含14噸),則每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)2元收費(fèi);若每月用水量超過(guò)14噸,則超過(guò)部分每噸按市場(chǎng)價(jià)3.5元收費(fèi).小明家2月份用水20噸,交水費(fèi)49元;3月份用水18噸,交水費(fèi)42元.
(1)設(shè)每月用水量為x噸,應(yīng)交水費(fèi)為y元,請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明家5月份用水30噸,則他家應(yīng)交水費(fèi)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸,該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行救援,救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A,B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到C處有生命跡象.已知A,B兩點(diǎn)相距6米,探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°,試確定生命所在點(diǎn)C的深度.(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知x1、x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)如果m滿足不等式7+4x1x2>x12+x22,且m為整數(shù).求m的值.
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【題目】我市某西瓜產(chǎn)地組織40輛汽車裝運(yùn)完A,B,C三種西瓜共200噸到外地銷售.按計(jì)劃,40輛汽車都要裝運(yùn),每輛汽車只能裝運(yùn)同一種西瓜,且必須裝滿.根據(jù)下表提供的信息,解答以下問(wèn)題:
西瓜種類 | A | B | C |
每輛汽車運(yùn)載量(噸) | 4 | 5 | 6 |
每噸西瓜獲利(百元) | 16 | 10 | 12 |
(1)設(shè)裝運(yùn)A種西瓜的車輛數(shù)為x輛,裝運(yùn)B種西瓜的車輛數(shù)為y輛,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果裝運(yùn)每種西瓜的車輛數(shù)都不少于10輛,那么車輛的安排方案有幾種?并寫(xiě)出每種安排方案;
(3)若要使此次銷售獲利達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)25萬(wàn)元,應(yīng)采取怎樣的車輛安排方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)()的圖象如圖所示,其對(duì)稱軸為,有下列結(jié)論;則正確的個(gè)數(shù)有( )
①;②;③;④;⑤;⑥若,則;
A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)
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【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為6,是邊上的一點(diǎn),繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到.三點(diǎn)在同一直線上.
(1)求四邊形的面積.
(2)如果點(diǎn)在邊上,且,試判斷之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
(3)在(2)的條件下,若,求的長(zhǎng).
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【題目】如圖所示,點(diǎn)A1、A2、A3在x軸上,且OA1=A1A2=A2A3,分別過(guò)點(diǎn)A1、A2、A3作y軸的平行線,與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象分別交于點(diǎn)B1、B2、B3,分別過(guò)點(diǎn)B1、B2、B3作x軸的平行線,分別與y軸交于點(diǎn)C1、C2、C3,連接OB1、OB2、OB3,若圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為,則k= .
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