Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜邊AB的中點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A′B′C′，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積為______．

Answer 1

【答案】

【解析】根據(jù)已知及勾股定理求得DP的長，再根據(jù)全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得GH，BG的長，從而不難求得旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積．

解：如圖所示，

在直角△DPB中，BP=AP=AC=3，
∵∠A=60°，
∴DP2+BP2=BD2，
∴x2+32=（2x）2，
∴DP=x=，
∵B′P=BP，∠B=∠B′，∠B′PH=∠BPD=90°，
∴△B′PH≌△BPD，
∴PH=PD=，
∵在直角△BGH中，BH=3+，
∴GH=，BG=，
∴S△BGH=××=，S△BDP=×3×=，
∴SDGHP==cm2．
“點(diǎn)睛”此題考查勾股定理，三角形的全等的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用．