Question

【題目】閱讀材料：

“三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓、外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。”（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上 2.3確定圓的條件）

問題初探：

（1）三角形的外心到三角形的_____________距離相等

（2）若點(diǎn)O是△ABC的外心，試探索∠BOC與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系。

（3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC。將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到BD，連接AD、CD。用直尺和圓規(guī)在圖中作出△BCD的外心O，并求∠ADB的度數(shù)。（保留作圖痕跡，不寫作法。）

Answer 1

【答案】（1）三個(gè)頂點(diǎn)；（2）∠BOC=2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC ；（3）

【解析】

（1）由三角形的三頂點(diǎn)都在圓上且圓上個(gè)點(diǎn)到圓心的距離相等可得答案；

（2）分∠BAC為銳角、直角、鈍角三種情況，銳角時(shí)作直徑AD，由OA=OB=OC知∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，據(jù)此得∠BOD=2∠BAO、∠COD=2∠CAO，根據(jù)∠BOC=∠BOD+∠COD可得；直角時(shí)由OA=OB=OC知點(diǎn)O是斜邊BC的中點(diǎn)，據(jù)此可得；鈍角時(shí)，根據(jù)∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD可得；

（3）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知BC=BD、∠BCD=∠BDC=75°，證△OCD為等邊三角形得OC=CD，再證△ACD≌△BCO得∠ADC=∠BOC=150°，根據(jù)∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC可得答案．

解：（1）∵三角形的三頂點(diǎn)都在圓上，

∴圓心到三角形的三頂點(diǎn)的距離相等；

（2）①當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖1，作直徑AD，

∵OA=OB=OC，

∴∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，則∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，

∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO

=2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC；

②當(dāng)∠BAC為直角時(shí)，如圖2，

∵⊙O是△ABC的外接圓，

∴OA=OB=OC，

∴點(diǎn)O是斜邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)∠BOC=180°，∠BAC=90°，

∴∠BOC=2∠BAC；

③當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖3，作直徑AD，

∵OA=OB=OC，

∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，

則∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，

∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，

∴∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD

=360°-（∠BOD+∠COD）=360°-（2∠BAO+2∠CAO）

=360°-2（∠BAO+∠CAO）=360°-2∠BAC，

即∠BOC=360°-2∠BAC；

綜上可知，∠BOC==2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC；

（3）如圖4，點(diǎn)O為△BCD的外心，

由“將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°到BD”可得：∠CBD=30°，CB=DB，

∴∠BCD=∠BDC=75°，

∴∠BOC=2∠BDC=150°．

又點(diǎn)O為△BCD的外心，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=15°，

又∠ACD=∠ACB-∠BCD=15°，

∴∠ACD=∠BCO，∠OCD=60°，

∵OD=OC，

∴△OCD為等邊三角形，

∴CD=CO．

在△DCA和△OCB中，

∵，

∴△DCA≌△OCB（SAS），

∴∠ADC=∠BOC=150°，

∴∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC=135°．