【題目】如圖,已知二次函數(shù)L1:y=ax2﹣2ax+a+3(a>0)和二次函數(shù)L2:y=﹣a(x+1)2+1
(a>0)圖象的頂點分別為M,N,與y軸分別交于點E,F.
(1)函數(shù)y=ax2﹣2ax+a+3(a>0)的最小值為______,當二次函數(shù)L1,L2的y值同時隨著x的增大而減小時,x的取值范圍是______.
(2)當EF=MN時,求a的值,并判斷四邊形ENFM的形狀(直接寫出,不必證明).
(3)若二次函數(shù)L2的圖象與x軸的右交點為A(m,0),當△AMN為等腰三角形時,求方程﹣a(x+1)2+1=0的解.
【答案】(1)3;﹣1≤x≤1;(2)a=﹣1,四邊形ENFM是矩形;(3)x1=﹣1,x2=﹣1﹣或x1=2,x2=﹣4.
【解析】試題分析:(1)把二次函數(shù)L1:y=ax2﹣2ax+a+3化成頂點式,即可求得最小值,分別求得二次函數(shù)L1,L2的y值隨著x的增大而減小的x的取值,從而求得二次函數(shù)L1,L2的y值同時隨著x的增大而減小時,x的取值范圍;
(2)先求得E、F點的坐標,作MG⊥y軸于G,則MG=1,作NH⊥y軸于H,則NH=1,從而求得MG=NH=1,然后證得△EMG≌△FNH,∠MEF=∠NFE,EM=NF,進而證得EM∥NF,從而得出四邊形ENFM是平行四邊形;
(3)作MN的垂直平分線,交MN于D,交x軸于A,先求得D的坐標,繼而求得MN的解析式,進而就可求得直線AD的解析式,令y=0,求得A的坐標,根據(jù)對稱軸從而求得另一個交點的坐標,就可求得方程﹣a(x+1)2+1=0的解.
試題解析:(1)∵二次函數(shù)L1:y=ax2﹣2ax+a+3=a(x﹣1)2+3,
∴頂點M坐標為(1,3),∵a>0,∴函數(shù)y=ax2﹣2ax+a+3(a>0)的最小值為3,
∵二次函數(shù)L1的對稱軸為x=1,當x<1時,y隨x的增大而減。
二次函數(shù)L2:y=﹣a(x+1)2+1的對稱軸為x=﹣1,當x>﹣1時,y隨x的增大而減;
∴當二次函數(shù)L1,L2的y值同時隨著x的增大而減小時,x的取值范圍是﹣1≤x≤1;
故答案為:3,﹣1≤x≤1.
(2)由二次函數(shù)L1:y=ax2﹣2ax+a+3可知E(0,a+3),
由二次函數(shù)L2:y=﹣a(x+1)2+1=﹣a2x﹣2ax﹣a+1可知F(0,﹣a+1),
∵M(1,3),N(﹣1,1),
∴EF=MN==2,
∴a+3﹣(﹣a+1)=2,
∴a=﹣1,
作MG⊥y軸于G,則MG=1,作NH⊥y軸于H,則NH=1,
∴MG=NH=1,
∵EG=a+3﹣3=a,FH=1﹣(﹣a+1)=a,
∴EG=FH,
在△EMG和△FNH中,
,
∴△EMG≌△FNH(SAS),
∴∠MEF=∠NFE,EM=NF,
∴EM∥NF,
∴四邊形ENFM是平行四邊形;
∵EF=MN,
∴四邊形ENFM是矩形;
(3)由△AMN為等腰三角形,可分為如下三種情況:
①如圖2,當MN=NA=2時,過點N作ND⊥x軸,垂足為點D,則有ND=1,DA=m﹣(﹣1)=m+1,
在Rt△NDA中,NA2=DA2+ND2,即(2)2=(m+1)2+12,
∴m1=﹣1,m2=﹣﹣1(不合題意,舍去),
∴A(﹣1,0).
由拋物線y=﹣a(x+1)2+1(a>0)的對稱軸為x=﹣1,
∴它與x軸的另一個交點坐標為(﹣1﹣,0).
∴方程﹣a(x+1)2+1=0的解為x1=﹣1,x2=﹣1﹣.
②如圖3,當MA=NA時,過點M作MG⊥x軸,垂足為G,則有OG=1,MG=3,GA=|m﹣1|,
∴在Rt△MGA中,MA2=MG2+GA2,即MA2=32+(m﹣1)2,
又∵NA2=(m+1)2+12,
∴(m+1)2+12=32+(m﹣1)2,m=2,
∴A(2,0),
則拋物線y=﹣a(x+1)2+1(a>0)的左交點坐標為(﹣4,0),
∴方程﹣a(x+1)2+1=0的解為x1=2,x2=﹣4.
③當MN=MA時,32+(m﹣1)2=(2)2,
∴m無實數(shù)解,舍去.
綜上所述,當△AMN為等腰三角形時,方程﹣a(x+1)2=0的解為
x1=﹣1,x2=﹣1﹣或x1=2,x2=﹣4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中有三個點A(1,﹣1)、B(﹣1,﹣1)、C(0,1),點P(0,2)關于A的對稱點為P1,P1關于B的對稱點P2,P2關于C的對稱點為P3,按此規(guī)律繼續(xù)以A、B、C為對稱中心重復前面的操作,依次得到P4,P5,P6,…,則點P2015的坐標是( )
A. (0,0) B. (0,2) C. (2,﹣4) D. (﹣4,2)
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【題目】下列關系式正確的是( )
A.35.5°=35°5′
B.35.5°=35°50′
C.35.5°<35°5′
D.35.5°>35°5′
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( 。
A.一個游戲的中獎率是1%,則做100次這樣的游戲一定會中獎
B.一組數(shù)據(jù)6,8,7,9,7,10的眾數(shù)和中位數(shù)都是7
C.為了解全國中學生的心理健康情況,應該采用全面調(diào)查的方式
D.若甲乙兩人六次跳遠成績的方差S=0.1,S=0.03,則乙的成績更穩(wěn)定
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(1,2),B(3,1),C(﹣2,﹣1).
(1)在圖中作出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1 ;
(2)寫出點A1 , B1 , C1的坐標(直接寫答案), A1________ ,B1________ ,C1________;
(3)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠CDE+∠CED=90°,EM平分∠CED,并與CD邊交于點M.DN平分∠CED,并與EM交于點N.
(1)依題意補全圖形,并猜想∠EDN+∠NED的度數(shù)等于 ;
(2)證明以上結論.
證明:∵DN平分∠CDE,EM平分∠CED,
∴∠EDN=∠CDE,∠NED= .(理由: )
∵∠CDE+∠CED=90°,
∴∠EDN+∠NED= ×(∠ +∠ )= ×90°= °.
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