Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（），B（），C（）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，試判斷拋物線上是否存在點(diǎn)H滿足？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-1）．

（3）點(diǎn)H存在．點(diǎn)H坐標(biāo)為．

【解析】

試題（1）由待定系數(shù)法即可得；

由題意可求得直線AC的解析式為．如圖，

設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（-2＜t＜0），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．則E點(diǎn)的坐標(biāo)為．從而可得，用h表示點(diǎn)C到線段DE所在直線的距離，則可得

，由-2＜t＜0可知當(dāng)t=-1時(shí)，△DAC面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-1）．

點(diǎn)H存在．

由（1）知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

如圖，假設(shè)存在點(diǎn)H，滿足

作直線MH交軸于點(diǎn)K（，0），作MN⊥軸于點(diǎn)N． 可得，從而有，從而得點(diǎn)K的坐標(biāo)為（），得直線MK的解析式為，解方程組，得，．將代入中，解得，由于直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．從而知 拋物線上必存在一點(diǎn)H，使∠AMH＝90， 此時(shí)點(diǎn)H坐標(biāo)為．

試題解析：（1）∵該拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，2），∴可設(shè)該拋物線的解析式為．

將A（-2，0），B（-，0）代入，得，解得：

∴此拋物線的解析式為；

（2）由題意可求得直線AC的解析式為．如圖，

設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（-2＜t＜0），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴，用h表示點(diǎn)C到線段DE所在直線的距離，

∴

∵-2＜t＜0

∴當(dāng)t=-1時(shí)，△DAC面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-1）．

（3）點(diǎn)H存在．

由（1）知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

如圖，假設(shè)存在點(diǎn)H，滿足

作直線MH交軸于點(diǎn)K（，0），作MN⊥軸于點(diǎn)N．

∵,，∴，

∵，∴，∴，∴

∴，∴，∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（），所以直線MK的解析式為，∴，把①代入②，化簡(jiǎn)，得：，＞0．

∴，．將代入中，解得

∴ 直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．

∴ 拋物線上必存在一點(diǎn)H，使∠AMH＝90， 此時(shí)點(diǎn)H坐標(biāo)為．