Question

如圖，拋物線y＝(x－3)²－1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.

（1）試求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

（2）連接CD，過原點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)H，OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接AE、AD.求證：∠AEO＝∠ADC；  

（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

 

Answer 1

解：（1）由y＝0得(x－3)²－1＝0，解得x₁＝3－，x₂＝3＋，又點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3－，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3＋，0），由拋物線解析式y＝(x－3)²－1可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣1）.

（2）如下圖，過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，∵∠DCG＝∠EOM，∠CGD＝∠OME＝90°，∴△CDG∽△OEM，∴,即，∴解得EM＝2，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2），ED＝2＋1＝3，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²＝EM²＋AM²＝2²＋[3－（3－）]²＝6，在Rt△ADM中，由勾股定理得AD²＝DM²＋AM²＝1²＋[3－（3－）]²＝3，∴AE²＋AD²＝6＋3＝9＝3²＝ED²，∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90°.設(shè)AE交CD于點(diǎn)F，∴∠ADC＋∠AFD＝90°，又∵∠AEO＋∠HFE＝90°，∠AFD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC.

（3）如下圖，由⊙E的半徑為1，由勾股定理得PQ²＝EP²－1，要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP²最小.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）,則PQ＝x－3，EQ＝2－y，∴由勾股定理得EP²＝（x－3）²＋（2－y）²，∵y＝(x－3)²－1，∴（x－3）²＝2y＋2，∴EP²＝2y＋2＋y²－4y＋4＝（y－1）²＋5，當(dāng)y＝1時(shí)，EP²最小值為5.把y＝1代入y＝(x－3)²－1得(x－3)²－1＝1，解得x₁＝1，x₂＝5，又∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，∴x₁＝1不合題意，舍去，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）.