Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，連接AC，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得，連接CF，O為CF的中點(diǎn)，連接OE，OD．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出OE與OD的關(guān)系（不用證明）．

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），，理由見解析；（2）當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論成立，理由見解析；（3）點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得OD與OE的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得AC=AF以及△ACF各內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)一步即可求出∠COE與∠DOF的度數(shù)，進(jìn)而可得OD與OE的位置關(guān)系；

（2）延長(zhǎng)EO到點(diǎn)M，使，連接DM、CM、DE，如圖2所示，先根據(jù)SAS證明≌，得，，再根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推得，進(jìn)一步在△ACF中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正方形的性質(zhì)得出，再一次運(yùn)用SAS推出≌，于是，進(jìn)一步即可得出OE、OD的位置關(guān)系，然后再運(yùn)用SAS推出≌，即可得OD與OE的數(shù)量關(guān)系；

（3）連接AO，如圖3所示，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，即可判斷點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑，由可得點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求得結(jié)果.

解：（1），；理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

∵四邊形ABCD是正方形，∴，

∴，

∴，

∵，O為CF的中點(diǎn)，∴，

同理：，∴，

∴，，

∴，∴；

（2）當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論成立，理由如下：

延長(zhǎng)EO到點(diǎn)M，使，連接DM、CM、DE，如圖2所示：

∵O為CF的中點(diǎn)，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴，.

∵四邊形ABCD是正方形，∴，，

∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得，

∴，，

∴，，

∵，，，

∴，

∵，，∴，

在中，∵，

∴，

∵，∴，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴，

∵，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴.

∴，∴，；

（3）連接AO，如圖3所示：

∵，，∴，∴，

∴點(diǎn)O在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

∵，∴點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)等于以AC為直徑的圓的周長(zhǎng)，

∵，∴點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為：．