【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D是邊AB上一點,且∠A=2∠DCB.E是BC邊上的一點,以EC為直徑的⊙O經(jīng)過點D.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若CD的弦心距為1,BE=EO,求BD的長.

【答案】
(1)證明:連接OD,如圖1所示:

∵OD=OC,

∴∠DCB=∠ODC,

又∠DOB為△COD的外角,

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB,

又∵∠A=2∠DCB,

∴∠A=∠DOB,

∵∠ACB=90°,

∴∠A+∠B=90°,

∴∠DOB+∠B=90°,

∴∠BDO=90°,

∴OD⊥AB,

又∵D在⊙O上,

∴AB是⊙O的切線


(2)

解法一:

過點O作OM⊥CD于點M,如圖1,

∵OD=OE=BE= BO,∠BDO=90°,

∴∠B=30°,

∴∠DOB=60°,

∵OD=OC,

∴∠DCB=∠ODC,

又∵∠DOB為△ODC的外角,

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB,

∴∠DCB=30°,

∵在Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1,

∴OC=2OM=2,

∴OD=2,BO=BE+OE=2OE=4,

∴在Rt△BDO中,根據(jù)勾股定理得:BD=2 ;

解法二:

過點O作OM⊥CD于點M,連接DE,如圖2,

∵OM⊥CD,

∴CM=DM,又O為EC的中點,

∴OM為△DCE的中位線,且OM=1,

∴DE=2OM=2,

∵在Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1,

∴OC=2OM=2,

∵Rt△BDO中,OE=BE,

∴DE= BO,

∴BO=BE+OE=2OE=4,

∴OD=OE=2,

在Rt△BDO中,根據(jù)勾股定理得BD=2


【解析】(1)連接OD,如圖1所示,由OD=OC,根據(jù)等邊對等角得到一對角相等,再由∠DOB為△COD的外角,利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和,等量代換可得出∠DOB=2∠DCB,又∠A=2∠DCB,可得出∠A=∠DOB,又∠ACB=90°,可得出直角三角形ABC中兩銳角互余,等量代換可得出∠B與∠ODB互余,即OD垂直于BD,確定出AB為圓O的切線,得證;(2)法1:過O作OM垂直于CD,根據(jù)垂徑定理得到M為DC的中點,由BD垂直于OD,得到三角形BDO為直角三角形,再由BE=OE=OD,得到OD等于OB的一半,可得出∠B=30°,進而確定出∠DOB=60°,又OD=OC,利用等邊對等角得到一對角相等,再由∠DOB為三角形DOC的外角,利用外角的性質(zhì)及等量代換可得出∠DCB=30°,在三角形CMO中,根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OC=2OM,由弦心距OM的長求出OC的長,進而確定出OD及OB的長,利用勾股定理即可求出BD的長;法2:過O作OM垂直于CD,連接ED,由垂徑定理得到M為CD的中點,又O為EC的中點,得到OM為三角形EDC的中位線,利用三角形中位線定理得到OM等于ED的一半,由弦心距OM的長求出ED的長,再由BE=OE,得到ED為直角三角形DBO斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,由DE的長求出OB的長,再由OD及OB的長,利用勾股定理即可求出BD的長.
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和垂徑定理的相關(guān)知識點,需要掌握在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題.

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②、連接AB,AC,△ABC即為所求的三角形
乙:①、以D為圓心,OD長為半徑作圓弧,交⊙O于B,C兩點.
②、連接AB,BC,CA.△ABC即為所求的三角形.
對于甲、乙兩人的作法,可判斷(

A.甲、乙均正確
B.甲、乙均錯誤
C.甲正確、乙錯誤
D.甲錯誤,乙正確

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(1)若旗桿的高度FG是a米,用含a的代數(shù)式表示DG.
(2)小明從點C后退6米在A的測得旗桿頂點F的仰角為30°,求旗桿FG的高度.(點A、C、D、G在一條直線上, ,結(jié)果精確到0.1)

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