Question

【題目】如圖，已知直線l：y＝﹣x+8交x軸于點E，點A為x軸上的一個動點（點A不與點E重合），在直線l上取一點B（點B在x軸上方），使BE＝5AE，連接AB，以AB為邊沿順時針方向作正方形ABCD，連結(jié)OB，以OB為直徑作⊙P．

（1）當(dāng)點A在點E右側(cè)時．

①若點B剛好落在y軸上，則線段BE的長為　 ，點D的坐標(biāo)為　 　．

②若點A的坐標(biāo)為（9，0），求正方形ABCD的邊長．

（2）⊙P與正方形ABCD的邊相切于點B，求點B的坐標(biāo)．

（3）點Q為⊙P與直線BE的交點，連接CQ，當(dāng)CQ平分∠BCD時，點B的坐標(biāo)為　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）①BE＝10，D（16，8）；②12；（2）點B的坐標(biāo)為（﹣12，24）或（，）；（3）B（﹣，）．

【解析】

（1）①利用勾股定理求出BE即可，證明和都是等腰直角三角形即可解決問題；

②如圖2中，作BH⊥x軸于H，求出點B的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖3中，當(dāng)點A與原點O重合時，⊙P與BC相切于點B，AE＝6，即可求出.

如圖4中，當(dāng)OB⊥AB時，⊙P與AB相切于點B，作BH⊥OA于H．設(shè)AE＝m，則BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，證明是等腰直角三角形，即可解決問題；

（3）如圖5中，如圖作BH⊥x軸于H．連接OQ．設(shè)AE＝k，則BE＝5k，BH＝4k，EH＝3k，求得直線OQ的解析式，再求得直線l與直線OQ的交點Q的坐標(biāo)，利用平行分線段成比例，即可解決問題.

解：（1）①如圖1中，作DG⊥x軸于G．

由題意：E（6，0），B（0，8），

∴OE＝6，OB＝8，

∴BE＝＝10，

∵BE＝5AE，

∴AE＝2，

∴OA＝8，

∴OB＝OA＝8，

∵AB＝AD＝8，∠BAD＝90°，

∴∠BAO＝∠DAG＝45°，

∵DG⊥AG，

∴DG＝AG＝8，

∴OG＝16，

∴D（16，8），

②如圖2中，作BH⊥x軸于H．

∵A（9，0），

∴OA＝9，

∵OE＝6，

∴AE＝3，

∵BE＝5AE，

∴BE＝15，

∵BH：EH＝4：3，

∴BH＝12，EH＝9，

∴AH＝12，

∴AB＝＝12 ．

（2）如圖3中，當(dāng)點A與原點O重合時，⊙P與BC相切于點B，AE＝6，

∵BE＝5AE，

∴BE＝30，可得B（﹣12，24）．

如圖4中，當(dāng)OB⊥AB時，⊙P與AB相切于點B，作BH⊥OA于H．

設(shè)AE＝m，則BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，

∴BH＝AH＝4m，

∴∠BAO＝45°，

∵∠OBA＝90°，

∴∠BOA＝45°，

∴點B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得B（，），

綜上所述，滿足條件的點B的坐標(biāo)為（﹣12，24）或（，）．

（3）如圖5中，如圖作BH⊥x軸于H．連接OQ．設(shè)AE＝k，則BE＝5k，BH＝4k，EH＝3k，

∴AH＝2k，

可得B（6﹣3k，4k），C（k+6，6k），A（6﹣k，0），

∵OQ⊥BE，

∴直線OQ的解析式為：y＝ x，

由 ，解得 ，

∴Q（， ），

∴CQ平分∠BCD，

∴A，C，Q共線，

∴，

解得k＝ ，

∴B（ ，）．