Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，P為AB上一點，且點P不與點A重合，過點P作PE⊥AB交AC邊于E點，點E不與點C重合，若AB=10，AC=8，設(shè)AP的長為x，四邊形PECB的周長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：四邊形PECB的周長為PE+EC+CB+BP，其中BC在直角△ABC中運用勾股定理可以求出，BP=AB-AP=10-x，另外兩條邊均可根據(jù)△AEP∽△ABC，借助于比例線段，用含有x的式子表示出來．關(guān)鍵還需求出自變量x的取值范圍，這可以令E點運行到C時，求特殊值．

解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=8，
∴BC=6．
∵EP⊥AB且∠A為公共角，
∴△AEP∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AP

AC

=

EP

BC

．
∵AP=x，
∴

AE

10

=

x

8

=

PE

6

，
即AE=

5

4

x，PE=

3

4

x，
∴EC=8-

5

4

x，BP=10-x．
∴y=PE+EC+CB+BP=-

3

2

x+24．
當(dāng)E與C重合時，CP⊥AB，
∴△APC∽△ACB，
∴CA²=AP•AB，
∴8²=10AP，
AP=

32

5

．
因為P與A不重合，E與C不重合，
所以0＜x＜

32

5

．
即y=-

3

2

x+24(0＜x＜

32

5

)．

點評：本題實際還是考查相似三角形的判定以及一次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用．