已知:如圖,直線y=mx+n與拋物線交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與拋物線的對稱軸x=﹣2交于點(diǎn)C(﹣2,4),直線f過拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)D且與x軸垂直.
(1)求直線y=mx+n和拋物線的解析式;
(2)在直線f上是否存在點(diǎn)P,使⊙P與直線y=mx+n和直線x=﹣2都相切.若存在,求出圓心P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)在線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N,當(dāng)MN的長為多少時(shí),△ABN的面積最大,請求出這個(gè)最大面積.
解:(1)將A(1,0)、C(﹣2,4)代入直線y=mx+n得:
,
解得:,
故直線解析式為:.
將A(1,0)代入拋物線及對稱軸為直線x=﹣2得:
,
解得:,
故拋物線解析式為:.
(2)存在.
如圖1,圖形簡化為圖2
直線f解析式:x=﹣5,故圓半徑R=3,且F(﹣5,8).
易得△PEF∽△ADF,△P1E1F≌△PEF,其中PE=P1E1=R=3,AD=6,F(xiàn)D=8,P1F=PF.
在Rt△ADF中,由勾股定理得:AF=10,由得:PF=5.
∴PD=13,P1D=3.
∴P(﹣5,13)、P1(﹣5,3).
綜上可得存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣5,13)或(﹣5,3).
(3)如圖3:
聯(lián)立直線與拋物線解析式得:,
解得交點(diǎn)B的坐標(biāo):(﹣9,).
設(shè)點(diǎn)M(q,﹣q+),N(q,q2+q﹣),
所以:MN=(﹣q+)﹣(q2+q﹣)=﹣q2﹣q+3=﹣(q+4)2+.
S△ABN=S△AMN+S△BMN=MN•AF+MN•BE=MN(AF+BE)=5MN=﹣(q+4)2+.
當(dāng)q=﹣4時(shí),S△ABN有最大值;此時(shí):MN=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
開封市測得2015年3月22日到29日PM2.5(可入肺顆粒物)的日均值(單位:μg/m3)如下:65,39,52,45,55,71,65,133,這組數(shù)據(jù)的極差和中位數(shù)分別是( )
A. 65和60 B. 65和55 C. 94和60 D. 94和55
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
某水渠的橫截面呈拋物線形,現(xiàn)以AB所在直線為x軸.以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.已知水面的寬AB=8米,且拋物線解析式為y=ax2﹣4.
(1)求a的值;
(2)點(diǎn)C(﹣1,m)是拋物線上一點(diǎn),求點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)D;
(3)寫出四邊形ACBD的面積.
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