【題目】如圖1,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.
(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);
(2)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證:△CAN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,試證明之;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)△ACN仍為等腰直角三角形.證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM,從而證到M為AN的中點(diǎn).
(2)易證AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.
(3)延長(zhǎng)AB交NE于點(diǎn)F,易得△ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得∠ABC=∠FEC,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.
試題解析:(1)如圖1,
∵EN∥AD,
∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.
∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),
∴DM=EM.
在△ADM和△NEM中,
∴.
∴△ADM≌△NEM.
∴AM=MN.
∴M為AN的中點(diǎn).
(2)如圖2,
∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,
∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.
∵AD∥NE,
∴∠DAE+∠NEA=180°.
∵∠DAE=90°,
∴∠NEA=90°.
∴∠NEC=135°.
∵A,B,E三點(diǎn)在同一直線上,
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.
∴∠ABC=∠NEC.
∵△ADM≌△NEM(已證),
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形.
(3)△ACN仍為等腰直角三角形.
證明:如圖3,延長(zhǎng)AB交NE于點(diǎn)F,
∵AD∥NE,M為中點(diǎn),
∴易得△ADM≌△NEM,
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
∵AD∥NE,
∴AF⊥NE,
在四邊形BCEF中,
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(-2xy)(3x2-2xy-4y2);
(2)(-m2n-mn+1)·(-6m3n);
(3)(-3x2y)2·(-4xy2-5y3-6x+1).
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【題目】如圖,一個(gè)長(zhǎng)5m的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為4m,如果梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點(diǎn).
(1)求梯子底端B外移距離BD的長(zhǎng)度;
(2)猜想CE與BE的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),M,N分別在BC,AC上,且BM=CN現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論:
①DN=DM; ② ∠NDM=90°; ③ 四邊形CMDN的面積為4; ④△CMN的面積最大為2.
其中正確的結(jié)論有( )
A. ①②④; B. ①②③; C. ②③④; D. ①②③④.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】聰聰是一位非常喜歡動(dòng)腦筋的初一學(xué)生,特別是學(xué)了幾何后,更覺(jué)得數(shù)學(xué)奇妙,當(dāng)聰聰學(xué)完圖形的初步知識(shí)后對(duì)角平分線興趣更濃厚,下面請(qǐng)你和聰聰同學(xué)一起來(lái)探究奇妙的角平分線吧已知,射線OE,OF分別是和的角平分線.
如圖1,若射線OC在的內(nèi)部,且,求的度數(shù);
如圖2,若射線OC在的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),且,求的度數(shù);
若射線OC在的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中,均指小于的角,其余條件不變,請(qǐng)借助圖3探究的大小,請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)不寫(xiě)探究過(guò)程
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【題目】如圖,某市有一塊長(zhǎng)為(3a+b)米,寬為(2a+b)米的長(zhǎng)方形地塊,中間是邊長(zhǎng)為(a+b)米的正方形,規(guī)劃部門(mén)計(jì)劃將在中間的正方形修建一座雕像,四周的陰影部分進(jìn)行綠化,
(1)綠化的面積是多少平方米?(用含字母a、b的式子表示)
(2)求出當(dāng)a=20,b=12時(shí)的綠化面積.
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【題目】已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是40,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是.
求線段AB的長(zhǎng).
如圖2,O表示原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P、T分別從B、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P、T、Q的速度分別為5個(gè)單位長(zhǎng)度秒、1個(gè)單位長(zhǎng)度秒、2個(gè)單位長(zhǎng)度秒,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
求點(diǎn)P、T、Q表示的數(shù)用含有t的代數(shù)式表示;
在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,如果點(diǎn)M為線段PT的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段OQ的中點(diǎn),試說(shuō)明在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中等量關(guān)系始終成立.
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【題目】為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水,我市居民使用自來(lái)水計(jì)費(fèi)方式實(shí)施階梯水價(jià),具體標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表1,表2分別是小明、小麗、小斌、小宇四家2017年的年用水量和繳納水費(fèi)情況.
表1:大連市居民自來(lái)水實(shí)施階梯水價(jià)標(biāo)準(zhǔn)情況:
階梯 | 每戶(hù)年用水量(立方米) | 水價(jià)(含污水處理費(fèi))(元/立方米) |
第一階梯 | 0~m(含m) | a |
第二階梯 | m~240(含240) | 4.40 |
第三階梯 | 240以上 | 7.85 |
表2:四個(gè)家庭2017年的年用水量和繳納水費(fèi)情況:
家庭 | 小明 | 小麗 | 小斌 | 小宇 |
用水量(立方米) | 50 | 100 | 200 | 220 |
水費(fèi)(元) | 162.5 | 325 | 673 | 761 |
請(qǐng)你根據(jù)表1、表2提供的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出表1中的a,m的值;
(2)小穎家2017年使用自來(lái)水共繳納水費(fèi)827元,則她家2017年的年用水量是多少立方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校舉行“每天鍛煉一小時(shí),健康生活一輩子”為主題的體育活動(dòng),并開(kāi)展了以下體育項(xiàng)目:足球、乒乓球、籃球和羽毛球,要求每位學(xué)生必須且只能選擇一項(xiàng)。為了解選擇各項(xiàng)體育活動(dòng)的學(xué)生人數(shù),隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答問(wèn)題:
(1)這次活動(dòng)一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)求選擇籃球項(xiàng)目的人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占的百分比?
(4)若該學(xué)校有1500人,請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校選擇乒乓球項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)約是多少人?
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