【題目】如圖1,已知BADBCE均為等腰直角三角形,∠BAD=BCE=90°,點(diǎn)MDE的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)EAD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N

(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證:MAN的中點(diǎn);

(2)將圖1中BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證:CAN為等腰直角三角形;

(3)將圖1中BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,試證明之;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3△ACN仍為等腰直角三角形.證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)由EN∥AD和點(diǎn)MDE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM,從而證到MAN的中點(diǎn).

2)易證AB=DA=NE∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.

3)延長(zhǎng)ABNE于點(diǎn)F,易得△ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得∠ABC=∠FEC,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.

試題解析:(1)如圖1

∵EN∥AD,

∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM

點(diǎn)MDE的中點(diǎn),

∴DM=EM

△ADM△NEM中,

∴△ADM≌△NEM

∴AM=MN

∴MAN的中點(diǎn).

2)如圖2

∵△BAD△BCE均為等腰直角三角形,

∴AB=ADCB=CE,∠CBE=∠CEB=45°

∵AD∥NE

∴∠DAE+∠NEA=180°

∵∠DAE=90°,

∴∠NEA=90°

∴∠NEC=135°

∵A,B,E三點(diǎn)在同一直線上,

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°

∴∠ABC=∠NEC

∵△ADM≌△NEM(已證),

∴AD=NE

∵AD=AB

∴AB=NE

△ABC△NEC中,

∴△ABC≌△NEC

∴AC=NC,∠ACB=∠NCE

∴∠ACN=∠BCE=90°

∴△ACN為等腰直角三角形.

3△ACN仍為等腰直角三角形.

證明:如圖3,延長(zhǎng)ABNE于點(diǎn)F,

∵AD∥NE,M為中點(diǎn),

易得△ADM≌△NEM

∴AD=NE

∵AD=AB,

∴AB=NE

∵AD∥NE,

∴AF⊥NE

在四邊形BCEF中,

∵∠BCE=∠BFE=90°

∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+∠ABC=180°

∴∠ABC=∠FEC

△ABC△NEC中,

∴△ABC≌△NEC

∴AC=NC,∠ACB=∠NCE

∴∠ACN=∠BCE=90°

∴△ACN為等腰直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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階梯

每戶(hù)年用水量(立方米)

水價(jià)(含污水處理費(fèi))(元/立方米)

第一階梯

0m(含m

a

第二階梯

m240(含240

4.40

第三階梯

240以上

7.85

2:四個(gè)家庭2017年的年用水量和繳納水費(fèi)情況:

家庭

小明

小麗

小斌

小宇

用水量(立方米)

50

100

200

220

水費(fèi)(元)

162.5

325

673

761

請(qǐng)你根據(jù)表1、表2提供的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:

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