Question

如圖，為正方形對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的⊙與相切于點(diǎn)．

（1）求證：與⊙相切；

（2）若⊙的半徑為1，求正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）過(guò)O作ON⊥CD于N，連接OM，由切線的性質(zhì)可知，OM⊥BC，再由AC是正方形ABCD的對(duì)角線可知AC是∠BCD的平分線，由角平分線的性質(zhì)可知OM=ON，故CD與⊙O相切；

（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△MOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．

試題解析：（1）【解析】
過(guò)O作于N，連結(jié)OM，則．

∵ AC是正方形的對(duì)角線，

∴ AC是的平分線．

∴ OM=ON．

即圓心O到CD的距離等于⊙半徑，

∴ 與⊙相切．

（2）由（1）易知為等腰直角三角形，OM為半徑，

∴ OM=MC=1．

∴ ,

∴ ．

∴

在中，AB=BC,

有

∴

∴ ．

故正方形的邊長(zhǎng)為

考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì)．