Question

已知，如圖，線段AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點B、C．
（1）當AB=6，DC=2，BC=8時，點P在線段BC運動，不與點B、C重合．
①若△ABP與△PCD可能全等，請直接寫出

BP

PC

的值；
②若△ABP與△PCD相似，求線段BP的長．
（2）探究：設(shè)AB=a，DC=b，AD=c，那么當a、b、c之間滿足什么關(guān)系時，在直線BC上存在點P，使AP⊥PD？

Answer 1

分析：（1）①題根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案，②根據(jù)△ABP∽△PCD，利用其對應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求出線段BP的長．
（2）題在一般情形下探究三條線段滿足何種關(guān)系，才存在結(jié)論AP⊥PD，其探究的方法有多種，這里僅探討順著解第（1）題的思路，貫徹“特殊到一般”的思想，繼續(xù)用相似三角形的知識拾階而上來研究．首先，求出BC，再設(shè)存在這樣的點P，且BP=x，則PC=-x，由AP⊥PD得，△ABP∽△PCD，則化簡得．

解答：解：（1）∵△ABP≌△PCD，
∴AB=PC=6，
BP=CD=2，
∴

BP

PC

=

2

6

=

1

3

，
②當△ABP∽△PCD，
∴

BP

CD

=

AB

PC

，
∴

BP

2

=

6

8-BP

，
解得BP=2，
當△ABP∽△DCP，
∴

BP

CP

=

AB

DC

，
∴

BP

8-BP

=

6

3

，
解得BP=6；
∴BP=2或BP=6；

（2）過D作DE⊥AB與E，得CD=BE=b，AE=a-b，
BC=DE=

AD2-AE2

=

c2-(a-b)2

，
設(shè)BP=x，
由（1）得△ABP∽△PCD，

a

c2-(a-b)2 -x

=

x

b

，
x²-

c2-(a-b)2

x+ab=0，
若存在點P，則此方程有實數(shù)根，
∴△=c²-（a-b）²-4ab=c²-（a+b）²≥0，
∴c≥a+b
∴c≥a+b時，在直線BC上存在點P，AP⊥PD．

點評：本題可以假設(shè)存在，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用比例式，找出P點．這是此題的突破點．