Question

【題目】如圖1，直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣2x﹣2，與拋物線交于點(diǎn)A（在x軸上），點(diǎn)D．拋物線與x軸另一交點(diǎn)為B（3，0），拋物線與y軸交點(diǎn)C（0，﹣6）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，直線AD與y軸交點(diǎn)為F，若點(diǎn)P由點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿DE邊向點(diǎn)E移動(dòng)，1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)D出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿DC，CO，OE邊向點(diǎn)E移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)PQ⊥DF時(shí)，求t的值；（圖3為備用圖）

（3）如果點(diǎn)M是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在一個(gè)點(diǎn)M，使△ABM中有一個(gè)角為45°？如果存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2﹣4x﹣6（2）當(dāng)t=2時(shí)，有PQ⊥DF（3）點(diǎn)M（7，8），（，），（ ， ），（ ， ）

【解析】試題分析：（1）求出點(diǎn)A坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)代入拋物線解析式解方程組即可．

（2）分三種情形討論①當(dāng)Q點(diǎn)在CD上時(shí)②點(diǎn)Q在CO上時(shí)③點(diǎn)Q在OE上時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)路程方程求出t，并且判斷是否符合題意即可．

（3）分三種情況：①當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸上方時(shí)，則直線過(guò)A和P(0， 1)，求出直線AP的解析式和直線AP與直線BC的交點(diǎn)即可；

②當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸下方時(shí)，則直線過(guò)A和Q(0，－1)，類似可求M的坐標(biāo)；

③若∠AMB=45°，過(guò)A作AP⊥BC于P，則△APM是等腰直角三角形，得到AP=PM．求出直線AP的解析式，然后求出直線AP和直線CB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由MP=AP，用兩點(diǎn)間的距離公式，列方程求解即可．

試題解析：解：（1）令y=0，則﹣2x﹣2=0，解得：x=﹣1，所以點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣1，0），設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c．∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣6）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線解析式為y=2x2﹣4x﹣6．

（2）y=2x﹣2，令x=0，y=﹣2，∴F（0，﹣2），由解得或，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，﹣6）．∵點(diǎn)C（0，﹣6），∴CD⊥CF，∴∠DCF=90°，由題意：P點(diǎn)移動(dòng)的路程為DP=t，Q點(diǎn)移動(dòng)的路程為3（t﹣1）=3t﹣3，當(dāng)Q點(diǎn)在CD上時(shí)，即0＜3t﹣3≤2時(shí)，1＜t≤時(shí)，如圖1中，若PQ⊥DF，則有Rt△QDP∽Rt△FCD，

∴=，即=，∴t=3，3＞，∴此時(shí)t不合題意．

當(dāng)點(diǎn)Q在CO上時(shí)，2＜3t﹣3≤8，＜t≤時(shí)，如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥OC于K，

∴CK=PD=t，CQ=3（t﹣1）﹣2=3t﹣5，若PQ⊥DF，則有Rt△PKQ∽Rt△FCD，∴，即=，∴t=2．∵＜t≤，∴t=2符合題意．

當(dāng)點(diǎn)Q在OE上時(shí)，即8≤3t﹣3≤10，≤t≤時(shí)，如圖3中，

若PQ⊥DF，過(guò)點(diǎn)Q作QG∥DF交DE于G，則QG⊥QP，即∠GQP=90°，∴∠QPE＞90°，這與△QPE內(nèi)角和為180°矛盾，此時(shí)PQ不與DF垂直．

綜上所述：當(dāng)t=2時(shí)，有PQ⊥DF．

（3）分三種情況討論：

①當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸上方時(shí)．∵A（-1，0）在y軸上取點(diǎn)P（0，1）直線AP交在線CB于M，則∠MAB=45°，如圖4．易求直線AP為y=x+1，易求直線BC的解析式為：y=2x－6，解方程組：，解得：，∴M（7，8）；

②當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸下方時(shí)．在y軸上取點(diǎn)Q（0，－1）直線AQ交在線CB于M′，則∠M′AB=45°，類似可求M（，）；

③若∠AMB=45°，過(guò)A作AP⊥BC于P，則△APM是等腰直角三角形，∴AP=PM．如圖5．∵AP⊥CB，∴直線AP為，解方程組：，解得：，∴P（，），∴AP==．設(shè)M（a，2a－6），則MP=AP，∴=，整理得：25a2-110a+57=0，∴（5a-19）（5a-3）=0，解得：a=或a=，∴M（，）或M′（，）．

綜上所述：存在一個(gè)點(diǎn)M，使△ABM中有一個(gè)角為45°，M的坐標(biāo)為：M（7，8）或（，）或（，）或（，）．