Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

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x+b(b＞0)分別交x軸，y軸于A，B兩點，以OA，OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點．以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點作等腰直角三角形PMN，點P在第一象限，設矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求點P的坐標．
（2）若點P關于x軸的對稱點為P′，試求經(jīng)過M、N、P′三點的拋物線的解析式．
（3）當b值由小到大變化時，求S與b的函數(shù)關系式．
（4）若在直線y=-

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x+b(b＞0)上存在點Q，使∠OQM等于90°，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作出作PK⊥MN于K，利用等腰三角形的性質得出KO的長，即可出P點的坐標；
（2）利用關于x軸對稱的性質得出P′點的坐標，再利用交點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）分別利用當0＜b≤2時，當2＜b≤3時以及當3＜b＜4時和當b≥4時結合圖象求出即可；
（4）以OM為直徑作圓，當直線y=-

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x+b(b＞0)與此圓相切時，b=

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+1得出即可．

解答：解：（1）作PK⊥MN于K，則PK=KM=

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NM=2．
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）∵點P關于x軸的對稱點為P′，
∴P′點的坐標為：（6，-2），
∵M（4，0），N（8，0），
∴代入二次函數(shù)解析式得出：y=a（x-4）（x-8），
∴-2=a（6-4）（6-8），
∴a=

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，
∴經(jīng)過M、N、P′三點的拋物線的解析式為：y=

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（x-4）（x-8）；


（3）當0＜b≤2時，如圖，S=0．

當2＜b≤3時，如圖，

設AC交PM于H．AM=HA=2b-4．
∴S=

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(2b-4)2．
即S=2（b-2）²或S=2b²-8b+8．
當3＜b＜4時，如圖，

設AC交PN于H．NA=HA=8-2b．
∴S=-2（4-b）²+4或S=-2b²+16b-28．
當b≥4時，如圖，

S=4．

（4）0＜b≤

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+1．（提示：以OM為直徑作圓，當直線y=-

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2

x+b(b＞0)與此圓相切時，b=

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+1．）

點評：此題主要考查了利用交點式求二次函數(shù)解析式以及三角形面積求法等知識，結合圖形利用自變量的取值范圍進行分類討論是解決問題的關鍵，注意不要漏解．