Question

【題目】如圖：在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了），連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF為菱形；
（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的角平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠FAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=FA，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，

∵AB=AF，

∴四邊形ABEF為菱形；

（2）解：∵四邊形ABEF為菱形，

∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，

在Rt△AOB中，AO= =4，

∴AE=2AO=8．

【解析】（1）由尺規(guī)作圖和已知先證出BE=FA，再由一組對邊平行且相等的四邊形可得四邊形ABEF為平行四邊形，又AB=AF可得證；
（2）由菱形的性質(zhì)易求出BO=3和∠AOB=90°，在Rt△AOB中可求出AO的值，再由菱形的性質(zhì)可求出AE的長.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．