Question

（2012•崇明縣一模）已知：如圖，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°．求：
（1）求∠C的余弦值；
（2）如果以點(diǎn)A為圓心的圓與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)，求圓A的半徑R的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3

3

；利用Rt△ACH中，AH=3

3

，CH=8-3=5，求出AC，進(jìn)而求出∠C的余弦值；
（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知圓A的半徑R的取值范圍為：AH＜R≤AB．

解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴BH=3，AH=3

3

，
∵BC=8，
∴CH=5． 
在Rt△ACH中，∵AH=3

3

，CH=5，
∴AC=2

13

．
∴cosC=

CH

AC

=

5

2 13

=

5 13

26

．

（2）∵AB＜AC，AH為A到BC的距離，
∴以點(diǎn)A為圓心的圓與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)，圓A的半徑R的取值范圍為：3

3

＜R≤6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)建直角三角形得出是解題關(guān)鍵．同時(shí)考查了直線與圓的位置關(guān)系：①直線l和⊙O相交?d＜r；②直線l和⊙O相切?d=r；③直線l和⊙O相離?d＞r．