Question

【題目】如圖，點B（0，b），點A（a，0）分別在y軸、x軸正半軸上，且滿足 +（b2﹣16）2=0．

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)，∠OAB的度數(shù)；
（2）如圖1，已知H（0，1），在第一象限內(nèi)存在點G，HG交AB于E，使BE為△BHG的中線，且S△BHE=3，
①求點E到BH的距離；
②求點G的坐標(biāo)；
（3）如圖2，C，D是y軸上兩點，且BC=OD，連接AD，過點O作MN⊥AD于點N，交直線AB于點M，連接CM，求∠ADO+∠BCM的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +（b2﹣16）2=0，

∴a﹣b=0，b2﹣16=0，

解得：b=4，a=4或b=﹣4，a=﹣4，

∵A點在x軸正半軸，B點在y軸正半軸上，

∴b=4，a=4，

∴A（4，0），B（0，4），

∴OA=OB=4，

∴∠OAB=45°

（2）解：①如圖1，作EF⊥y軸于F，

∵B（0，4），H（0，1），

∴BH=OB﹣OH=4﹣1=3，

∵OA=OB=4，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴△BFE為等腰直角三角形，

∴BF=EF=2，

∴OF=OB﹣BF=4﹣1=3，

∴E（2，3），

∴E（2，3）為GH的中點，

∵S△BHE=3，

∴ BH×EF=3，即 ×3×EF=3，

∴EF=2，

故點E到BH的距離為2．

②設(shè)G（m，n），則

∵BE為△BHG的中線，

∴ ， ，

解得m=4，n=5，

∴G點坐標(biāo)為（4，5）

（3）解：如圖2，過點B作BK⊥OC，交MN于點K，則∠KBO=∠DOA，

∵M(jìn)N⊥AD，

∴∠DON+∠NOA=90°，

∴∠3+∠NOA=90°，

∵∠NOA+∠1=90°，

∴∠3=∠1，

在△KOB和△OAD中，

，

∴△KOB≌△OAD（ASA），

∴KB=OD，∠2=∠7，

∵BC=OD，

∴KB=BC，

∵OB=OA，∠BOA=90°，

∴∠OBA=45°，

∴∠9=∠8=45°，

在△MKB和△MCB中，

，

∴△MKB≌△MCB（SAS），

∴∠6=∠5，

∵∠7+∠6=180°，

∴∠2+∠5=180°，即∠ADO+∠BCM=180°．

【解析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出關(guān)于a、b的方程組，求得a、b即可得到A、B兩點的坐標(biāo)，最后利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAB的度數(shù)；（2）作EF⊥y軸于F，構(gòu)造等腰直角三角形BEF，進(jìn)而求出E點坐標(biāo)，利用△BHE的面積即可得到點E到BH的距離；設(shè)G（m，n），根據(jù)BE為△BHG的中線，求得點G坐標(biāo)即可；（3）過點B作BK⊥OC，交MN于點K，然后證明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB，從而可證明∠ADO+∠BCM=180°．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和三角形的面積是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；三角形的面積=1/2×底×高．