設A是給定的正有理數(shù)．
（1）若A是一個三邊長都是有理數(shù)的直角三角形的面積，證明：一定存在3個正有理數(shù)x、y、z，使得x2-y2=y2-z2=A．
（2）若存在3個正有理數(shù)x、y、z，滿足x2-y2=y2-z2=A，證明：存在一個三邊長都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A．
解：（1）設a，b，c是直角三角形的三邊長，a，b，c都是有理數(shù)，且a
2+b
2=c
2，
ab=A，
若a=b，則2a
2=c
2，
=
，這與a，c都是有理數(shù)的假定矛盾，故a≠b．
不妨設a＜b，取x=
，y=
，z=
，則x，y，z都是有理數(shù)，
且x
2-y
2=
=
ab=A，y
2-z
2=
=
ab=A．
（2）設三個有理數(shù)x，y，z滿足x
2-y
2=y
2-z
2=A，則x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，則a，b，c都是有理數(shù)，
且a
2+b
2=2（x
2+z
2）=4y
2=c
2，
ab=
（x
2-z
2）=
[（x
2-y
2）+（y
2-z
2）]=A．
即存在一個三邊長a，b，c都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A．
分析：（1）設a，b，c是直角三角形的三邊長，a，b，c都是有理數(shù)，且a
2+b
2=c
2，
ab=A，由若a=b，求得
=
，可知a≠b；所以設a＜b，x=
，y=
，z=
即可證得結論；
（2）設三個有理數(shù)x，y，z滿足x
2-y
2=y
2-z
2=A，則x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，代入檢驗即可證得結論．
點評：此題考查了有理數(shù)知識與完全平方式的應用．題目難度較大，注意構造符合要求的有理數(shù)是解題的關鍵．
千里馬走向假期期末仿真試卷寒假系列答案