已知:如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=
mx
(x>0,m是常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4)、點(diǎn)B(a,b),其中a>1,直線AB交y軸于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線,垂足為D,AC與BD相交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)M,連接DC.
(1)求m的值;
(2)求證:四邊形ACDE為平行四邊形;
(3)若AB=CD,求直線AB的函數(shù)解析式.
分析:(1)直接將A的值代入函數(shù) y=
k
x
中,即可得出k的值,便可得出解析式;
(2)通過(guò)求點(diǎn)E的坐標(biāo)求得線段OE的長(zhǎng)等于ED的長(zhǎng),然后利用對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形來(lái)判定平行四邊形.
(3)利用證得的平行四邊形的性質(zhì)證得AE為中位線求得點(diǎn)B的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式.
解答:解:(1)∵函數(shù)y=
m
x
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4),
4=
m
1
(1分),
∴m=4,

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,
∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4),B(a,b),(2分)
4=k+n
b=ak+n
,
解得:k=
b-4
a-1
,n=
4a-b
a-1
,
y=
b-4
a-1
x+
4a-b
a-1
(3分),
E(0,
4a-b
a-1
)
,即OE=
4a-b
a-1

又∵BD⊥y軸,
∴OD=b(4分)
ED=
4a-b
a-1
-b=
4a-ab
a-1

又∵點(diǎn)B(a,b)在函數(shù)y=
m
x
上,
∴ab=m=4(5分),
ED=
4a-ab
a-1
=
4a-4
a-1
=4

又∵AC⊥x軸,
∴AC=4(6分),
∴AC∥ED,AC=ED,
∴四邊形ACDE為平行四邊形;

(3)∵四邊形ACDE為平行四邊形,精英家教網(wǎng)
∴AE=CD,
又∵AB=CD(7分),
∴AE=AB,
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥y軸,則AF∥DB,AF=1,
∴AF為△EBD的中位線(8分),
BD=2AF=2,即a=2(9分),
∵ab=4,∴b=2,
將a=2,b=2代入y=
b-4
a-1
x+
4a-b
a-1
中得y=-2x+6,
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+6.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí),其中滲透了平行四邊形的判定和性質(zhì),是一道難度較大的反比例函數(shù)綜合題.
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