【題目】△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B.
(1)如圖(1)當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE相似的三角形.

(2)如圖(2),將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),DM,DN分別交線段AC,AB于E,F(xiàn)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合),不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證明你的結(jié)論.

(3)在圖(2)中,若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)SDEF= SABC時(shí),求線段EF的長(zhǎng).

【答案】
(1)

解:圖(1)中與△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE.

理由如下:∵AB=AC,D為BC的中點(diǎn),

∴AD⊥BC,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,

又∵∠MDN=∠B,

∴△ADE∽△ABD,

同理可得:△ADE∽△ACD,

∵∠MDN=∠C=∠B,

∠B+∠BAD=90°,∠ADE+∠EDC=90°,

∠B=∠MDN,

∴∠BAD=∠EDC,

∵∠B=∠C,

∴△ABD∽△DCE,

∴△ADE∽△DCE,


(2)

解:△BDF∽△CED∽△DEF,

證明:∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°,

又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE,

由AB=AC,得∠B=∠C,

∴△BDF∽△CED,

=

∵BD=CD,

=

又∵∠C=∠EDF,

∴△BDF∽△CED∽△DEF.


(3)

解:連接AD,過D點(diǎn)作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分別為G,H.

∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),

∴AD⊥BC,BD= BC=6.

在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2,

∴AD=8,

∴SABC= BCAD= ×12×8=48.

SDEF= SABC= ×48=12.

又∵ ADBD= ABDH,

∴DH= = =4.8,

∵△BDF∽△DEF,

∴∠DFB=∠EFD

∵DG⊥EF,DH⊥BF,

∴DH=DG=4.8.

∵SDEF= ×EF×DG=12,

∴EF= =5.


【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可;(2)利用已知首先求出∠BFD=∠CDE,即可得出△BDF∽△CED,再利用相似三角形的性質(zhì)得出BD:DF=EC:DE,進(jìn)而得出△BDF∽△CED∽△DEF. (3)首先利用△DEF的面積等于△ABC的面積的 ,求出DH的長(zhǎng),進(jìn)而利用SDEF的值求出EF即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角);相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

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女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)表

進(jìn)球數(shù)(個(gè))

人數(shù)

0

1

1

2

2

x

3

y

4

4

5

2


(1)求這個(gè)班級(jí)的男生人數(shù);
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并計(jì)算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中進(jìn)2個(gè)球的扇形的圓心角度數(shù);
(3)該校共有學(xué)生1880人,請(qǐng)你估計(jì)全校進(jìn)球數(shù)不低于3個(gè)的學(xué)生大約有人.

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(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若tan∠CAO= ,且OC=4,求PB的長(zhǎng).

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(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P在y軸上,且△PAB為直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(3)如圖2,拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M,連接PB.問在直線BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得△QMB與△PMB的面積相等?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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