【題目】(14分)如圖1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點(diǎn)B在線段AE上,點(diǎn)C在線段AD上.
(1)請直接寫出線段BE與線段CD的關(guān)系: ;
(2)如圖2,將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)角α(0<α<360°),
①(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請利用圖2證明;若不成立,請說明理由;
②當(dāng)AC=ED時,探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在這樣的角α,使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出角α的度數(shù);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)BE=CD;(2)①成立;②存在,α=45°.
【解析】
試題(1)由△ABC和△AED都是等腰直角三角形,得到AB=AC,AE=AD,即可得到BE=CD;
(2)①由△ABC和△AED都是等腰直角三角形,得到AB=AC,AE=AD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD,得到△BAE≌△CAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
②由平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADC=45°,再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC,AE=AD,∴AE﹣AB=AD﹣AC,∴BE=CD;
(2)①成立,理由如下:
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC,AE=AD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD,在△BAE與△CAD中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,∴△BAE≌△CAD(SAS),∴BE=CD;
②存在,α=45°.∵以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,∴∠ABC=∠ADC=45°,∵AC=ED,∴∠CAD=45°,∴角α的度數(shù)是45°.
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【題目】已知Rt△ABC的三邊AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,則AB邊上的中線為_____cm,AB邊上的高為_____cm.
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【題目】學(xué)校召集留守兒童過端午節(jié),桌上擺有甲、乙兩盤粽子,每盤中盛有白粽2個,豆沙粽1個,肉粽1個(粽子外觀完全一樣).
(1)小明從甲盤中任取一個粽子,取到豆沙粽的概率是 ;
(2)小明在甲盤和乙盤中先后各取了一個粽子,請用樹狀圖或列表法求小明恰好取到兩個白粽子的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-1,3)、(-4,1)、(-2,1),先將△ABC沿一確定方向平移得到△ABC,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,2),再將△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABC,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A.
(1) 畫出△ABC;
(2) 畫出△ABC;
(3) 求出在這兩次變換過程中,點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A的路徑總長.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC為直徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB交CB延長線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑R=5,且tanC =,求EF的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,CE交BD于點(diǎn)O,那么圖中的等腰三角形個數(shù)( )
A.4B.6C.7D.8
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【題目】為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦,某部門工作人員乘快艇到漢江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛.在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上,繼續(xù)行駛40秒到達(dá)B處時,測得建筑物P在北偏西60°方向上,如圖所示,求建筑物P到賽道AB的距離(結(jié)果保留根號).
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【題目】如圖,將矩形ABCD(紙片)折疊,使點(diǎn)B與AD邊上的點(diǎn)K重合,EG為折痕;點(diǎn)C與AD邊上的點(diǎn)K重合,FH為折痕.已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=+1,求BC的長.
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