【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過A(﹣1,0),B(1,1)兩點.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)閱讀理解:

在同一平面直角坐標系中,直線l1:y=k1x+b1(k1,b1為常數(shù),且k1≠0),直線l2:y=k2x+b2(k2,b2為常數(shù),且k2≠0),若l1l2,則k1k2=﹣1.

解決問題:

①若直線y=2x﹣1與直線y=mx+2互相垂直,則m的值是____

②拋物線上是否存在點P,使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)M是拋物線上一動點,且在直線AB的上方(不與A,B重合),求點M到直線AB的距離的最大值.

【答案】(1)y=﹣x2+x+1;(2)-;②點P的坐標(6,﹣14)(4,﹣5);(3).

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)垂線間的關(guān)系,可得PA,PB的解析式,根據(jù)解方程組,可得P點坐標;
(3)根據(jù)垂直于x的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標,可得MQ,根據(jù)三角形的面積,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得面積的最大值,根據(jù)三角形的底一定時面積與高成正比,可得三角形高的最大值

解:(1)將A,B點坐標代入,得

,

解得,

拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1;

(2)①由直線y=2x﹣1與直線y=mx+2互相垂直,得

2m=﹣1,

m=﹣;

故答案為:﹣;

AB的解析式為y=x+

PAAB時,PA的解析式為y=﹣2x﹣2,

聯(lián)立PA與拋物線,得

解得(舍),

P(6,﹣14);

PBAB時,PB的解析式為y=﹣2x+3,

聯(lián)立PB與拋物線,得

解得(舍),

P(4,﹣5),

綜上所述:△PAB是以AB為直角邊的直角三角形,點P的坐標(6,﹣14)(4,﹣5);

(3)如圖:

,

M(t,﹣t2+t+1),Q(t, t+),

MQ=﹣t2+

SMABMQ|xB﹣xA|

(﹣t2+)×2

=﹣t2+

t=0時,S取最大值,即M(0,1).

由勾股定理,得

AB=,

設(shè)MAB的距離為h,由三角形的面積,得

h=

M到直線AB的距離的最大值是

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①方程的解為________________;

②關(guān)于的方程________________的解為,

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∴∠BEF+∠DFE=180°(______),

EG平分∠BEF,FG平分∠DFE(已知),

∴______,______(______),

∴∠GEF+∠GFE=(∠BEF+∠DFE)(______),

∴∠GEF+∠GFE=×180°=90°(______),

在△EGF中,∠GEF+∠GFE+∠G=180°(______),

∴∠G=180°-90°=90°(等式性質(zhì)),

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