【題目】如圖甲,AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分別為B、P、D,且三個垂足在同一直線上,我們把這樣的圖形叫“三垂圖”.

(1)證明:ABCD=PBPD.
(2)如圖乙,也是一個“三垂圖”,上述結(jié)論成立嗎?請說明理由.
(3)已知拋物線與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點(0,﹣3),頂點為P,如圖丙所示,若Q是拋物線上異于A、B、P的點,使得∠QAP=90°,求Q點坐標.

【答案】
(1)

證明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,

∴∠B=∠D=90°,

∴∠A+∠APB=90°,

∵AP⊥PC,

∴∠APB+∠CPD=90°,

∴∠A=∠CPD,

∴△ABP∽△PCD,

= ,

∴ABCD=PBPD


(2)

ABCD=PBPD仍然成立.

理由如下:∵AB⊥BD,CD⊥BD,

∴∠B=∠CDP=90°,

∴∠A+∠APB=90°,

∵AP⊥PC,

∴∠APB+∠CPD=90°,

∴∠A=∠CPD,

∴△ABP∽△PCD,

= ,

∴ABCD=PBPD


(3)

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),

∵拋物線與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點(0,﹣3),

,

解得 ,

所以,y=x2﹣2x﹣3,

∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴頂點P的坐標為(1,﹣4),

過點P作PC⊥x軸于C,設(shè)AQ與y軸相交于D,

則AO=1,AC=1+1=2,PC=4,

根據(jù)(2)的結(jié)論,AOAC=ODPC,

∴1×2=OD4,

解得OD= ,

∴點D的坐標為(0, ),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(k≠0),

,

解得

所以,y= x+ ,

聯(lián)立 ,

解得 , (為點A坐標,舍去),

所以,點Q的坐標為( ).


【解析】(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CPD,然后求出△ABP和△PCD相似,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得證;(2)與(1)的證明思路相同;(3)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式,根據(jù)拋物線解析式求出點P的坐標,再過點P作PC⊥x軸于C,設(shè)AQ與y軸相交于D,然后求出PC、AC的長,再根據(jù)(2)的結(jié)論求出OD的長,從而得到點D的坐標,利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點Q的坐標.

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(1)求k的取值范圍;
(2)當方程②有兩個整數(shù)根x1、x2 , k為整數(shù),且k=m+2,n=1時,求方程②的整數(shù)根;
(3)當方程②有兩個實數(shù)根x1、x2 , 滿足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k為負整數(shù)時,試判斷|m|≤2是否成立?請說明理由.

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