Question

如圖，點P在圓O外，PA與圓O相切于A點，OP與圓周相交于C點，點B與點A關于直線PO對稱，已知OA＝4，PA＝4．

求：（1）∠POA的度數；

（2）弦AB的長；

（3）陰影部分的面積（結果保留π）．

 

Answer 1

【答案】

（1）60°；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由切線的性質得直角三角形OAP，應用正切函數即可求得∠POA的度數；（2）根據對稱的性質，應用垂徑定理和余弦函數即可求得弦AB的長；（3）根據轉換思想疳陰影面積轉化為求解即可.

試題解析：（1）∵PA切圓與A，∴OA⊥PA.

又∵OA＝4，PA＝， ∴. ∴∠POA = 60°.

（2）設AB與OP的交點為D，

∵點B與點A關于直線PO對稱，∴AD=BD.

∵OC為半徑，AD=BD，∴OC⊥AB. ∴∠OAD=90°－∠AOD=30°.

∴�！郃B=2AD=.

（3）∵，，

∴陰影面積=.

考點：1.切線的性質；2.銳角三角函數定義；3.特殊角的三角函數值；4.對稱的性質；5.垂徑定理；6.扇形面積；7.轉換思想的應用.