Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象交于P（n，2），與x軸交于A（﹣4，0），與y軸交于C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC=BC．

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)圖象有一點(diǎn)D，使得以B、C、P、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點(diǎn)，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得： ，

解得：k= ，b=1，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=

（2）

解：如圖所示，

當(dāng)PB為菱形的對角線時，

∵四邊形BCPD為菱形，

∴PB垂直且平分CD，

∵PB⊥x軸，P（4，2），

∴點(diǎn)D（8，1）．

當(dāng)PC為菱形的對角線時，PB∥CD，

此時點(diǎn)D在y軸上，不可能在反比例函數(shù)的圖象上，故此種情形不存在．

綜上所述，點(diǎn)D（8，1）．

【解析】（1）先根據(jù)題意得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再將A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函數(shù)的解析式，把點(diǎn)P（4，2）代入反比例函數(shù)y= 即可得出m的值，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）根據(jù)PB為菱形的對角線與PC為菱形的對角線兩種情況進(jìn)行討論即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．