【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)求證:EO=FO;

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處,且△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?并說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí);(3)運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)

【解析】試題解析:(1)根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)及,由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證;

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,根據(jù)矩形的判定方法,即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證.

(3))由OE=OF,OA=OC可判斷四邊形AECF為平行四邊形,再證明∠ECF=90°,則可判斷四邊形AECF為矩形,根據(jù)正方形的判定方法,當(dāng)∠2=45°時(shí),四邊形AECF為正方形,于是可得∠ACB=90°.

試題解析:(1)證明:∵CE平分∠ACB,

∴∠1=∠2,

又∵M(jìn)N∥BC,

∴∠1=∠3,

∴∠3=∠2,

∴EO=CO,

同理,F(xiàn)O=CO,

∴EO=FO;

(2)解:當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.

理由如下:

∵EO=FO,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).

∴四邊形AECF是平行四邊形,

∵CF平分∠BCA的外角,

∴∠4=∠5,

又∵∠1=∠2,

∴∠2+∠4=×180°=90°.

即∠ECF=90度,

∴四邊形AECF是矩形.

(3)∵OE=OF,OA=OC,

∴四邊形AECF為平行四邊形,

∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACB的外角,

∴∠ECF=90°,

∴四邊形AECF為矩形,

當(dāng)∠2=45°時(shí),四邊形AECF為正方形,

此時(shí)∠ACB=90°,

即當(dāng)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),△ABC中∠ACB=90°時(shí),四邊形AECF是正方形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正方形網(wǎng)格中(網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長是1),ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,請?jiān)谒o的直角坐標(biāo)系中解答下列問題:

作出△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△AB1C1,再作出△AB1C1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A1B2C2

(2)請直接寫出以A1、B2、C2為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo) .(寫出一個(gè)即可)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在邊BC,如果點(diǎn)F是邊AD上的點(diǎn),那么CDFABE不一定全等的條件是(  )

A. DF=BE B. AF=CE

C. CF=AE D. CFAE

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下面材料:點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b,A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為∣AB∣.當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn),如圖1,∣AB∣=∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣;當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí),如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊,∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣;如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊,∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣;如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊,∣AB∣=∣OB∣+∣OA∣=∣a∣+∣b∣=a+(-b)=∣a-b∣;

回答下列問題:

(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是   ,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是    ,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是    .

(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是    ,如果∣AB∣=2,那么x為    ;

(3)當(dāng)代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值時(shí),相應(yīng)的x的取值范圍是    .

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),連接DO并延長到點(diǎn)E,使OE=OD,連接AE,BE.

(1)求證:四邊形AEBD是矩形;

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),矩形AEBD是正方形?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖①為一種平板電腦保護(hù)套的支架效果圖,AM固定于平板電腦背面,與可活動的MB、CB部分組成支架.平板電腦的下端N保持在保護(hù)套CB上,不考慮拐角處的弧度及平板電腦和保護(hù)套的厚度,繪制成圖②,其中AN表示平板電腦,M為AN上的定點(diǎn),AN=CB=20cm,AM=8cm,MB=MN,我們把∠ANB叫做傾斜角,根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷傾斜角能小于30°嗎?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示的運(yùn)算程序中,若開始輸入的x值為48,我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為24,第二次輸出的結(jié)果為12,…,則第2018次輸出的結(jié)果為________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),且滿足 = ,連接AF并延長交⊙O于點(diǎn)E,連接AD,DE,若CF=2,AF=3,給出下列結(jié)論:①△ADF∽△AED;②FG=2;③tanE= ;④SDEF=4 ,其中正確的是(
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在開展好書伴我成長的讀書活動中,某中學(xué)為了解八年級300名學(xué)生讀書情況,隨機(jī)調(diào)查了八年級50名學(xué)生讀書的冊數(shù).統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:

(1)求這50個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均救,眾數(shù)和中位數(shù).

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)該校八年級300名學(xué)生在本次活動中讀書多于2冊的人數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案