【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點,B點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,-3),點P是直線BC下方拋物線上的一個動點.
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)連接PO,PC,并將△POC沿y軸對折,得到四邊形.是否存在點P,使四邊形為菱形?若存在,求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
【答案】解:(1)將B、C兩點的坐標(biāo)代入,得
, 解得。
∴二次函數(shù)的解析式為。
(2)存在。如圖1,假設(shè)拋物線上存在點P,使四邊形為菱形,連接交CO于點E。
∵四邊形為菱形, K∴PC=PO,且PE⊥CO。
∴OE=EC=,即P點的縱坐標(biāo)為。
由解得:
(不合題意,舍去)。
∴存在這樣的點,此時P點的坐標(biāo)為(,)。
(3)如圖2,連接PO,作PM⊥x于M,PN⊥y于N。設(shè)P點坐標(biāo)為(x,),
由=0,得點A坐標(biāo)為(-1,0)。
∴AO=1,OC=3, OB=3,PM=,PN=x。
∴S四邊形ABPC=++
=AO·OC+OB·PM+OC·PN
=×1×3+×3×()+×3×x
==。
∴當(dāng)x=時,四邊形ABPC的面積最大.此時P點坐標(biāo)為(,),四邊形ABPC的最大面積為。
【解析】
試題(1)直接把B(3,0)、C(0,-3)代入可得到關(guān)于b、c的方程組,解方程組求得b,c,則從而求得二次函數(shù)的解析式。
(2)假設(shè)拋物線上存在點P,使四邊形為菱形,連接交CO于點E,則PO=PC,根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP,CP′=CP,易得四邊形POP′C為菱形,又E點坐標(biāo)為(0, ),則點P的縱坐標(biāo)為,把y=
代入可求出對應(yīng)x的值,然后確定滿足條件的P點坐標(biāo)。
(3)由S四邊形ABPC=++求出S四邊形ABPC關(guān)于P點橫坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式,應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理求解。
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【題目】如圖,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,BE=3cm,AD=9cm.
求:(1)DE的長;
(2)若CE在△ABC的外部(如圖),其它條件不變,DE的長是多少?
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【題目】如圖,將一張四邊形紙片沿EF折疊,以下條件中能得出AD∥BC的條件個數(shù)是( )
①∠2=∠4:②∠2+∠3=180°;③∠1=∠6:④∠4=∠5
A.1B.2C.3D.4
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【題目】寧波至紹興城際列車已于2019年7月10日運營,這是國內(nèi)首條利用既有鐵路改造開行的跨市域城際鐵路.其中余姚至紹興的成人票價12元/人,學(xué)生票價6元/人.余姚某校801班師生共計50人坐城際列車去紹興秋游.
(1)設(shè)有名老師,求801班師生從余姚到紹興的城際列車總費用關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若從余姚到紹興的城際列車總費用不超過330元,問至少有幾名學(xué)生?
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【題目】如圖,已知∠MON及其邊上一點A,以點A為圓心,AO長為半徑畫弧,分別交OM,ON于點B和C,再以點C為圓心,AC長為半徑畫弧,恰好經(jīng)過點B,錯誤的結(jié)論是( ).
A.B.∠OCB=90°C.∠MON=30°D.OC=2BC
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【題目】已知x2+(a+3)x+a+1=0是關(guān)于x的一元二次方程.
(1)求證:方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的兩個實數(shù)根為x1 ,x2 ,且x12+x22=10,求實數(shù)a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)展都曾居世界前列,其中“楊輝三角”(如圖)就是一例,它的發(fā)現(xiàn)比歐洲早五百年左右.
楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)為它的上方(左右)兩數(shù)之和.事實上,這個三角形給出了(n=1,2,3,4,5,6)的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律. 例如,在三角形中第三行的三個數(shù)1,2,1,恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù);第四行的四個數(shù)1,3,3,1,恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù),等等.
(1)當(dāng)n=4時,的展開式中第3項的系數(shù)是_________;
(2)人們發(fā)現(xiàn),當(dāng)n是大于6的自然數(shù)時,這個規(guī)律依然成立,那么的展開式中各項的系數(shù)的和為_________.
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【題目】如圖,已知拋物線的頂點坐標(biāo)是(2,﹣1),且經(jīng)過點A(5,8)
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)該拋物線與y軸相交于點B,與x軸相交于C、D兩點(點C在點D的左邊),試求點B、C、D的坐標(biāo);
(3)設(shè)點P是x軸任一點,連接AP、BP.試求當(dāng)AP+BP取得最小值時點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點O為AD上一動點(4<OA<8),以O(shè)為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點M,連接OM,過點M作⊙O的切線交邊BC于N.
(1)求證:△ODM∽△MCN;
(2)設(shè)DM=x,求OA的長(用含x的代數(shù)式表示);
(3)在點O的運動過程中,設(shè)△CMN的周長為P,試用含x的代數(shù)式表示P,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論?
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