Question

已知b、c是整數(shù)，二次三項(xiàng)式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一個(gè)因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一個(gè)因式，求x=1時(shí)，x²+bx+c的值．

Answer 1

解：∵二次三項(xiàng)式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一個(gè)因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一個(gè)因式，
∴也必定是x⁴+6x²+25與3x⁴+4x²+28x+5差的一個(gè)因式，而3（x⁴+6x²+25）-（3x⁴+4x²+28x+5）=14（x²-2x+5），
∴x²-2x+5=x²+bx+c，
∴b=-2，c=5，
∴當(dāng)x=1時(shí)，x²+bx+c=1-2+5=4．
分析：根據(jù)二次三項(xiàng)式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一個(gè)因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一個(gè)因式，我們可得到x²+bx+c也必定是x⁴+6x²+25與3x⁴+4x²+28x+5差的一個(gè)因式．通過(guò)做差，就實(shí)現(xiàn)了降次，最高次冪成為2，與二次三項(xiàng)式x²+bx+c關(guān)于x的各次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，解得b、c的值．再將x=1、b、c代入求值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解．解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)作差，實(shí)現(xiàn)了降次，再根據(jù)兩代數(shù)式相等必是x的各次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．