Question

【題目】問題再現(xiàn)：

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀， 從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直 觀推導(dǎo)和解釋．

如圖 1，是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式：

如圖 2，在中，，以的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論 ．

如圖 3，如果以的三邊長(zhǎng)為直徑向外作半圓，那么第問的結(jié)論 是否成立？請(qǐng)說明理由．

如圖 4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直 徑向上作半圓，求圖 4 中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）結(jié)論仍成立，理由見詳解；（4）30

【解析】

（1）根據(jù)大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積加兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可得出答案；

（2）分別求出三個(gè)正方形的面積，再用勾股定理求解即可；

（3）分別求出三個(gè)半圓的面積，計(jì)算即可；

（4）陰影部分的面積為兩個(gè)小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積．

解：（1）由正方形的面積可得出：；

故答案為： ；

（2）由圖可得：,

在直角三角形中有：

∴；

故答案為：；

（3）結(jié)論仍成立，理由如下：

由圖可得出：

∴

在直角三角形中有：

∴．

因此，結(jié)論仍成立．

（4）由圖可知：

陰影部分的面積為兩個(gè)小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積，由（3）可知為兩個(gè)小半圓的面積等于大的半圓的面積，因此，陰影部分的面積等于三角形的面積，

∵．