【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn),且B(1,0)
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如圖1,點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,已知直線y= x﹣ 分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn),點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線,交直線CF于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上,連接QE.問(wèn):以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:把B(1,0)代入y=ax2+2x﹣3,
可得a+2﹣3=0,解得a=1,
∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3,
令y=0,可得x2+2x﹣3=0,解得x=1或x=﹣3,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,0)
(2)解:若y=x平分∠APB,則∠APO=∠BPO,
如圖1,若P點(diǎn)在x軸上方,PA與y軸交于點(diǎn)B′,
由于點(diǎn)P在直線y=x上,可知∠POB=∠POB′=45°,
在△BPO和△B′PO中
,
∴△BPO≌△B′PO(ASA),
∴BO=B′O=1,
設(shè)直線AP解析式為y=kx+b,把A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得
,解得 ,
∴直線AP解析式為y= x+1,
聯(lián)立 ,解得 ,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為( , );
若P點(diǎn)在x軸下方時(shí),同理可得△BOP≌△B′OP,
∴∠BPO=∠B′PO,
又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部,
∴∠APO≠∠BPO,即此時(shí)沒(méi)有滿足條件的P點(diǎn),
綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為( , )
(3)解:如圖2,作QH⊥CF,交CF于點(diǎn)H,
∵CF為y= x﹣ ,
∴可求得C( ,0),F(xiàn)(0,﹣ ),
∴tan∠OFC= = ,
∵DQ∥y軸,
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC,
∴tan∠HDQ= ,
不妨設(shè)DQ=t,DH= t,HQ= t,
∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形,
∴若DQ=DE,則S△DEQ= DEHQ= × t×t= t2,
若DQ=QE,則S△DEQ= DEHQ= ×2DHHQ= × t× t= t2,
∵ t2< t2,
∴當(dāng)DQ=QE時(shí)△DEQ的面積比DQ=DE時(shí)大.
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),則D(x, x﹣ ),
∵Q點(diǎn)在直線CF的下方,
∴DQ=t= x﹣ ﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣ x+ ,
當(dāng)x=﹣ 時(shí),tmax=3,
∴(S△DEQ)max= t2= ,
即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為
【解析】(1)利用待定系數(shù)法把B坐標(biāo)代入解析式即可;(2)由平分可得△BPO≌△B′PO或△BOP≌△B′OP,連立y=x與AP的解析式可解決;(3)最值問(wèn)題可利用函數(shù)思想解決,構(gòu)建關(guān)于面積的函數(shù),利用配方法解決.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形,再通過(guò)兩種不同的方式計(jì)算同一個(gè)圖形的面積,可以得到一個(gè)等式,也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.
例如,由圖1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)由圖2,可得等式 ;
(2)利用(1)所得等式,解決問(wèn)題:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.
(3)如圖3,將兩個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的正方形拼在一起,B,C,G三點(diǎn)在同一直線上,連接BD和BF,若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a、b如圖標(biāo)注,且滿足a+b=10,ab=20.請(qǐng)求出陰影部分的面積.
(4)圖4中給出了邊長(zhǎng)分別為a、b的小正方形紙片和兩邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片,現(xiàn)有足量的這三種紙片.
①請(qǐng)?jiān)谙旅娴姆娇蛑杏盟o的紙片拼出一個(gè)面積為2a2+5ab+2b2的長(zhǎng)方形,并仿照?qǐng)D1、圖2畫出拼法并標(biāo)注a、b;
②研究①拼圖發(fā)現(xiàn),可以分解因式2a2+5ab+2b2= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BD為⊙O的直徑,點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn),AD交BC于E點(diǎn),AE=2,ED=4.
(1)求證:△ABE∽△ADB;
(2)求tan∠ADB的值;
(3)延長(zhǎng)BC至F,連接FD,使△BDF的面積等于8 ,求證:DF與⊙O相切.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】本學(xué)期學(xué)習(xí)了一元一次不等式的解法,下面是甲同學(xué)的解題過(guò)程:
解不等式.
解:不等式兩邊同時(shí)乘以4,得:
去分母,得:
去括號(hào),得:
移項(xiàng),得:
合并同類項(xiàng),得:
系數(shù)化1,得:
不等式的解集在數(shù)軸上表示為:
上述甲同學(xué)的解題過(guò)程從第___步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤,錯(cuò)誤的原因是____.請(qǐng)幫甲同學(xué)改正錯(cuò)誤,寫出完整的解題過(guò)程,并把正確解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)家規(guī)定,中小學(xué)生每天在校體育活動(dòng)時(shí)間不低于1小時(shí),為了解這項(xiàng)政策的落實(shí)情況,有關(guān)部門就“你某天在校體育活動(dòng)時(shí)間是多少”的問(wèn)題,在某校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生,再根據(jù)活動(dòng)時(shí)間t(小時(shí))進(jìn)行分組(A組:t<0.5,B組:0.5≤t<1,C組:1≤t<1.5,D組:t≥1.5),繪制成如下兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答問(wèn)題:
(1)此次抽查的學(xué)生數(shù)為人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)從抽查的學(xué)生中隨機(jī)詢問(wèn)一名學(xué)生,該生當(dāng)天在校體育活動(dòng)時(shí)間低于1小時(shí)的概率是;
(4)若當(dāng)天在校學(xué)生數(shù)為1200人,請(qǐng)估計(jì)在當(dāng)天達(dá)到國(guó)家規(guī)定體育活動(dòng)時(shí)間的學(xué)生有人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,CB=5,動(dòng)點(diǎn)M從C點(diǎn)開(kāi)始沿CB運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)開(kāi)始沿BA運(yùn)動(dòng),同時(shí)出發(fā),兩點(diǎn)均以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)(當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即同時(shí)停止),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)AN= ;CM= .(用含t的代數(shù)式表示)
(2)連接CN,AM交于點(diǎn)P.
①當(dāng)t為何值時(shí),△CPM和△APN的面積相等?請(qǐng)說(shuō)明理由.
②當(dāng)t=3時(shí),試求∠APN的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解,則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程.
例如:方程 的解為 ,不等式組 的解集為 ,因?yàn)?/span> ,所以,稱方程為不等式組的關(guān)聯(lián)方程.
(1)在方程①,②,③中,不等式組 的關(guān)聯(lián)方程是 ;(填序號(hào))
(2)若不等式組的一個(gè)關(guān)聯(lián)方程的根是整數(shù),則這個(gè)關(guān)聯(lián)方程可以是 ;(寫出一個(gè)即可)
(3)若方程,都是關(guān)于的不等式組的關(guān)聯(lián)方程,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號(hào)召,學(xué)校開(kāi)設(shè)了足球興趣拓展班,計(jì)劃同時(shí)購(gòu)買A,B兩種足球30個(gè),A,B兩種足球的價(jià)格分別為50元個(gè),80元個(gè),設(shè)購(gòu)買B種足球x個(gè),購(gòu)買兩種足球的總費(fèi)用為y元.
求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.
在總費(fèi)用不超過(guò)1600元的前提下,從節(jié)省費(fèi)用的角度來(lái)考慮,求總費(fèi)用的最小值.
因足球興趣拓展班的人數(shù)增多,所以實(shí)際購(gòu)買中這兩種足球總數(shù)超過(guò)30個(gè),總費(fèi)用為2000元,則該學(xué)?赡芄操(gòu)買足球______個(gè)直接寫出答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求該拋物線的對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)設(shè)(1)中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí),滿足S△PAB=8,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).
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