對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,如果當(dāng)x取任意整數(shù)時(shí),函數(shù)值y都是整數(shù),那么我們把該函數(shù)的圖象叫做整點(diǎn)拋物線(例如:y=x2+2x+2).
(1)請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值小于1的整點(diǎn)拋物線的解析式
 
.(不必證明)
(2)請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖诙雾?xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值小于
12
的整點(diǎn)拋物線?若存在,請(qǐng)寫(xiě)出其中一條拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)a和b要么同時(shí)為整數(shù),要么同時(shí)是分母為2的分?jǐn)?shù);
(2)利用反證法證明.假設(shè)存在符合條件的拋物線,則對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c.①當(dāng)x=0時(shí)y=c,當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c,由整點(diǎn)拋物線定義推知a+b必為整數(shù);②當(dāng)x=2時(shí),y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整數(shù),所以a應(yīng)為
1
2
的整數(shù)倍;綜合①②即可得到答案.
解答:解:(1)如:y=
1
2
x2+
1
2
x
,y=-
1
2
x2-
1
2
x
等等
(只要寫(xiě)出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式)

(2)解:假設(shè)存在符合條件的拋物線,則對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c
當(dāng)x=0時(shí)y=c,當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c,
由整點(diǎn)拋物線定義知:c為整數(shù),a+b+c為整數(shù),
∴a+b必為整數(shù).
又當(dāng)x=2時(shí),y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整數(shù),
∴2a必為整數(shù),從而a應(yīng)為
1
2
的整數(shù)倍,
∴|a|≥
1
2
;
∴不存在二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值小于
1
2
的整點(diǎn)拋物線.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•泰州)已知:關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax(a>0),點(diǎn)A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)y1=y2,請(qǐng)說(shuō)明a必為奇數(shù);
(2)設(shè)a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a,是否存在n,使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代數(shù)式表示);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,在下列說(shuō)法中:
①ac<0;②2a+b=0;③a+b+c>0; ④當(dāng)x>0.5時(shí),y隨x的增大而增大;
⑤對(duì)于任意x均有ax2+ax≥a+b,正確的說(shuō)法有( 。

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已知:關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax(a>0),點(diǎn)A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)y1=y2,請(qǐng)說(shuō)明a必為奇數(shù);
(2)設(shè)a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a,是否存在n,使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代數(shù)式表示);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知:關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax(a>0),點(diǎn)A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)y1=y2,請(qǐng)說(shuō)明a必為奇數(shù);
(2)設(shè)a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a,是否存在n,使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代數(shù)式表示);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,在下列說(shuō)法中:
①ac<0;②2a+b=0;③a+b+c>0; ④當(dāng)x>0.5時(shí),y隨x的增大而增大;
⑤對(duì)于任意x均有ax2+ax≥a+b,正確的說(shuō)法有( )

A.5個(gè)
B.4個(gè)
C.3個(gè)
D.2個(gè)

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