Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連結(jié)DQ．過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）．（3）F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．

（2）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長(zhǎng)=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長(zhǎng)，從而求得三角形的面積，

（3）先確定出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而得出FG由FG=4建立方程求解即可．

試題解析：（1）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知點(diǎn)C（0，3），

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，

解得x=﹣3或x=1，

∴點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4可知，對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴當(dāng)m=﹣2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．

∵點(diǎn)A（﹣3，0），C（0，3），

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣2+3=1，則點(diǎn)E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AMEM=．

（3）∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣2，拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1，

∴點(diǎn)N應(yīng)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，得y=4，

∴點(diǎn)D（﹣1，4）．

∴DQ=DC

∵FG=2DQ，

∴FG=4，

設(shè)點(diǎn)F（n，﹣n2﹣2n+3），則點(diǎn)G（n，n+3），

∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，解得n=﹣4或n=1．

∴點(diǎn)F（﹣4，﹣5）或（1，0）．