【題目】平面上,矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放,分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O,且∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定,將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°≤α≤60°).
發(fā)現(xiàn):如圖2,當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí),求a的值即陰影部分的面積;
拓展:如圖3,當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M,與BA邊交于點(diǎn)N時(shí),設(shè)BM=x(x>0),用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng),并求x的取值范圍.
探究:當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí),直接寫出sinα的值.
【答案】發(fā)現(xiàn):α=30°,S陰影=+;
拓展: BN=,0<x≤2﹣1;
探究: sinα的值為:或或.
【解析】
試題分析:首先設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R,連接RK,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E,則可求得∠RKQ的度數(shù),于是求得答案;
拓展:如圖5,由∠OAN=∠MBN=90°,∠ANO=∠BNM,得到△AON∽△BMN,即可求得BN,如圖4,當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí),x取最大值,作QF⊥AD于點(diǎn)F,BQ=AF,則可求出x的取值范圍;
探究:半圓K與矩形ABCD的邊相切,分三種情況:①半圓K與BC相切于點(diǎn)T,②當(dāng)半圓K與AD相切于T,③當(dāng)半圓K與CD切線時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,且為切點(diǎn);分別求解即可求得答案.
解:發(fā)現(xiàn):如圖2,設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R,連接RK,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,
過(guò)點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E,在Rt△OPH中,PH=AB=1,OP=2,
∴∠POH=30°,
∴α=60°﹣30°=30°,
∵AD∥BC,
∴∠RPO=∠POH=30°,
∴∠RKQ=2×30°=60°,
∴S扇形KRQ==,
在Rt△RKE中,RE=RKsin60°=,
∴S△PRK=RE=,
∴S陰影=+;
拓展:如圖5,
∵∠OAN=∠MBN=90°,∠ANO=∠BNM,
∴△AON∽△BMN,
∴,即,
∴BN=,
如圖4,當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí),x取最大值,作QF⊥AD于點(diǎn)F,BQ=AF=﹣AO=2﹣1,
∴x的取值范圍是0<x≤2﹣1;
探究:半圓K與矩形ABCD的邊相切,分三種情況;
①如圖5,半圓K與BC相切于點(diǎn)T,設(shè)直線KT與AD,OQ的初始位置所在的直線分別交于點(diǎn)S,O′,
則∠KSO=∠KTB=90°,
作KG⊥OO′于G,在Rt△OSK中,
OS==2,
在Rt△OSO′中,SO′=OStan60°=2,KO′=2﹣,
在Rt△KGO′中,∠O′=30°,
∴KG=KO′=﹣,
∴在Rt△OGK中,sinα===,
②當(dāng)半圓K與AD相切于T,如圖6,同理可得sinα====;
③當(dāng)半圓K與CD切線時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,且為切點(diǎn),
∴α=60°,
∴sinα=sin60°=;
綜上所述sinα的值為:或或.
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A. 2a﹣a=a B. -(a﹣b)=﹣a+b C. a+a2=a3 D. 2(a+b)=2a+2b
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【題目】在一次統(tǒng)考中,從甲、乙兩所中學(xué)初二學(xué)生中各抽取50名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)分析,甲校的平均分和方差分別是82分和245分,乙校的平均分和方差分別是82分和190分,根據(jù)抽樣可以粗略估計(jì)成績(jī)較為整齊的學(xué)校是( )
A. 甲校B. 乙校C. 兩校一樣整齊D. 不好確定哪校更整齊
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【題目】四邊形ABCD各角之比∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,則這個(gè)四邊形為( )
A.平行四邊形
B.菱形
C.等腰梯形
D.梯形
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【題目】三角形按角分類可以分為( )
A. 銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形
B. 等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形
C. 直角三角形、等邊直角三角形
D. 以上答案都不正確
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【題目】點(diǎn)A(3,m)在拋物線y=x2﹣1上,則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
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【題目】端午節(jié)期間,質(zhì)監(jiān)部門要對(duì)市場(chǎng)上粽子質(zhì)量情況進(jìn)行調(diào)查,適合采用的調(diào)查方式是 .(填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”)
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