【題目】平面上,矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放,分別延長(zhǎng)DAQP交于點(diǎn)O,且DOQ=60°OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定,將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α0°≤α≤60°).

發(fā)現(xiàn):如圖2,當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí),求a的值即陰影部分的面積;

拓展:如圖3,當(dāng)線段OQCB邊交于點(diǎn)M,與BA邊交于點(diǎn)N時(shí),設(shè)BM=xx0),用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng),并求x的取值范圍.

探究:當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí),直接寫出sinα的值.

【答案】發(fā)現(xiàn):α=30°,S陰影=+

拓展: BN=,0x≤2﹣1;

探究: sinα的值為:

【解析】

試題分析:首先設(shè)半圓KPC交點(diǎn)為R,連接RK,過(guò)點(diǎn)PPHAD于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)RREKQ于點(diǎn)E,則可求得RKQ的度數(shù),于是求得答案;

拓展:如圖5,由OAN=MBN=90°,ANO=BNM,得到AON∽△BMN,即可求得BN,如圖4,當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí),x取最大值,作QFAD于點(diǎn)F,BQ=AF,則可求出x的取值范圍;

探究:半圓K與矩形ABCD的邊相切,分三種情況:半圓KBC相切于點(diǎn)T,當(dāng)半圓KAD相切于T,當(dāng)半圓KCD切線時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,且為切點(diǎn);分別求解即可求得答案.

解:發(fā)現(xiàn):如圖2,設(shè)半圓KPC交點(diǎn)為R,連接RK,過(guò)點(diǎn)PPHAD于點(diǎn)H,

過(guò)點(diǎn)RREKQ于點(diǎn)E,在RtOPH中,PH=AB=1OP=2,

∴∠POH=30°

α=60°﹣30°=30°,

ADBC

∴∠RPO=POH=30°,

∴∠RKQ=2×30°=60°,

S扇形KRQ==,

RtRKE中,RE=RKsin60°=,

SPRK=RE=,

S陰影=+

拓展:如圖5,

∵∠OAN=MBN=90°,ANO=BNM,

∴△AON∽△BMN,

,即,

BN=,

如圖4,當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí),x取最大值,作QFAD于點(diǎn)F,BQ=AF=﹣AO=2﹣1,

x的取值范圍是0x≤2﹣1;

探究:半圓K與矩形ABCD的邊相切,分三種情況;

如圖5,半圓KBC相切于點(diǎn)T,設(shè)直線KTAD,OQ的初始位置所在的直線分別交于點(diǎn)S,O′,

KSO=KTB=90°

KGOO′G,在RtOSK中,

OS==2

RtOSO′中,SO′=OStan60°=2KO′=2,

RtKGO′中,O′=30°,

KG=KO′=

RtOGK中,sinα===,

當(dāng)半圓KAD相切于T,如圖6,同理可得sinα====;

當(dāng)半圓KCD切線時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,且為切點(diǎn),

α=60°

sinα=sin60°=;

綜上所述sinα的值為:

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