Question

（2012•漳州）如圖，在?OABC中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60°，0C=4cm．OA=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OA→AB運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以acm/s的速度沿線段OC→CB運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

2

，

2

3

），對(duì)角線OB的長(zhǎng)度是

4

7

cm；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？
（3）當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上，點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，線段PQ與對(duì)角線OB交于點(diǎn)M．若以O(shè)、M、P為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，連接OB，由∠AOC=60°，0C=4cm，利用三角函數(shù)求得OD與CD的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；又由四邊形OABC是平行四邊形，可得BE與AB的長(zhǎng)，繼而求得AE的長(zhǎng)，然后由勾股定理，即可求得對(duì)角線OB的長(zhǎng)度；
（2）分別從當(dāng)0＜t≤4時(shí)，當(dāng)4≤t≤8時(shí)與當(dāng)8≤t≤12時(shí)去分析求解即可求得答案；
（3）分別從當(dāng)△OPM∽△OAB與當(dāng)△OPM∽△OBA時(shí)去分析，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答： 解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，連接OB，
∵∠AOC=60°，0C=4cm，
∴OD=0C•cos60°=4×

1

2

=2（cm），CD=OC•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm），
∴C（2，2

3

），
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB=OC=4cm，BC∥OA，
∴BE=CD=2

3

cm，
∴AE=

AB2-BE2

=2（cm），
∵OA=8cm，
∴OE=OA+AE=10（cm），
∴OB=

OE2+BE2

=4

7

cm．…（4分）

（2）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，
過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D（如圖1），則QD=

3

2

t．
∴S=

1

2

OP•QD=

3

4

t²．…（5分）

②當(dāng)4≤t≤8時(shí)，
作QE⊥x軸于點(diǎn)E（如圖2），則QE=2

3

．
∴S=

1

2

OP•QE=

3

t． …（6分）

③當(dāng)8≤t＜12時(shí)，
解法一：延長(zhǎng)QP交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AF于點(diǎn)H（如圖3）．
∴△PBQ與△PAF均為等邊三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t-8．
∴PH=

3

2

（t-8）．…（7分）
∴S=S_△OQF-S_△OPF
=

1

2

t•2

3

-

1

2

t•

3

2

（t-8）
=-

3

4

t²+3

3

t． …（8分）
當(dāng)t=8時(shí)，S最大． …（9分）

解法二：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖3）．
∴△PBQ為等邊三角形．
∵AP=t-8．
∴PH=

3

2

（t-8）． …（7分）
∴S=S_梯形OABQ-S_△PBQ-S_△OAP=

3

（20-t）-

3

4

（12-t）²-2

3

（t-8）．
=-

3

4

t²+3

3

t． …（8分）
當(dāng)t=8時(shí)，S最大． …（9分）

（3）①當(dāng)△OPM∽△OAB時(shí)（如圖4），則PQ∥AB．
∴CQ=OP．
∴at-4=t，a=1+

4

t

．…（10分）
t的取值范圍是0＜t＜8． …（11分）

②當(dāng)△OPM∽△OBA時(shí)（如圖5），
則

OP

OB

=

OM

OA

，
∴

t

4 7

=

OM

8

，
∴OM=

2 7

7

t． …（12分）
又∵QB∥OP，
∴△BQM∽△OPM，
∴

QB

OP

=

BM

OM

，
∴

12-at

t

=

4 7 - 2 7 7 t

2 7 7 t

，
整理得t-at=2，
∴a=1-

2

t

．…（13分）
t的取值范圍是6≤t≤8．
綜上所述：a=1+

4

t

（0＜t＜8）或a=1-

2

t

（6≤t≤8）． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理三角函數(shù)、二次函數(shù)的最值以及三角形面積問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．