解:(1)若k=0,則y=-2x+
是一次函數(shù),與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),滿足條件;
若k≠0,則y=kx
2-2x+
(k≠0)是二次函數(shù),
由△=b
2-4ac=4-6k=0,得k=
.
∴k=0或
.
(2)設(shè)反比例函數(shù)解析式為:y=
,
∵點(diǎn)M(1,k)在反比例函數(shù)圖象上,
∴m=k.
∴y=
.
由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí),須滿足條件:k<0,x≠0.
二次函數(shù)y=kx
2-2x+
,拋物線開口向下,其對(duì)稱軸為直線x=
,
當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí),須滿足條件:k<0,x<
.
綜上所述,要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨x的增大而增大,須滿足條件:k<0,x<
.
(3)存在.
拋物線解析式為:y=kx
2-2x+
,
令y=0,即kx
2-2x+
=0,
∴x1+x2=
,x1x2=
.
∵x
12+x
22=1,
∴(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=1,即:(
)
2-2•
=1
整理得:k
2+3k-4=0,
解得:k=-4或k=1.
又∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
∴△=4-6k>0,解得k<
,
∴k=1不符合題意,舍去,∴k=-4.
∴拋物線的解析式為:y=-4x
2-2x+
=-4(x+
)
2+
.
令y=0,解得x=
,
∴A(
,0),B(
,0).
畫出函數(shù)大致圖象如下,則OA=
,OB=
,AB=
.
以AB為直徑作圓,由圖象可見,圓與y軸的交點(diǎn)有2個(gè),因此所求的點(diǎn)P有兩個(gè).
連接PA、PB,易證△PAO∽△BPO,
∴
,
∴OP
2=OA•OB=
×
=
,∴OP=
.
S
△ABP=
AB•OP=
×
×
=
.
綜上所述,存在兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)P.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,
)或(0,-
),△ABP的面積為
.
分析:(1)本問注意分類討論:若k=0,函數(shù)為一次函數(shù);若k≠0,函數(shù)為二次函數(shù),根據(jù)其△=0求解即可;
(2)根據(jù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的增減性,綜合確定k應(yīng)滿足的條件和x的取值范圍;
(3)由題意,首先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,求出k的值;從而得到拋物線的解析式,畫出拋物線的大致圖象,以AB為直徑作圓,圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求之點(diǎn)P;最后利用相似三角形求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的面積.
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)、一元二次方程、根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、相似三角形等知識(shí)點(diǎn),有一定的難度.第(1)問中,須分一次函數(shù)、二次函數(shù)進(jìn)行討論;第(3)問中,滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè),容易漏解.可見分類討論思想是本題考查重點(diǎn),也是易失分點(diǎn).