Question

已知E，F，G，H各點分別在四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA邊上（如圖）．
（1）當

AE

EB

=

BF

FC

=

CG

GD

=

DH

HA

=2時，求證：

S四邊形EFGH

S四邊形ABCD

=

5

9

（2）當上述條件中比值為3，4，…，n時（n為自然數），那么S_{四邊形EFGH}與S_{四邊形ABCD}之比是多少？

Answer 1

分析：（1）可先依據題中條件分別得出各個小三角形的面積與四邊形ABCD的關系，進而四邊形ABCD減去各個小三角形的和即可得出四邊形EFGH與四邊形ABCD的關系；
（2）規(guī)律性問題，根據（1）中結論可得出規(guī)律，其證明方法與（1）相同．

解答：解：（1）S_△EBF=

1

3

S_△ABF=

1

3

•

2

3

S_△ABC=

2

9

S_△ABC，
同理S_△DGH=

2

9

S_△ADC，
∴S_△EBF+S_△DGH=

2

9

S_ABCD，
同理S_△CFG+S_△AEH=

2

9

S_ABCD，
∴S_△EBF+S_△DGH+S_△CFG+S_△AEH=

4

9

S_ABCD，
∴S_EFGH=

5

9

S_ABCD．

（2）S_EFGH=

n2+1

(n+1)2

S_ABCD．
（證明方法與（1）的方法一樣）．

點評：本題主要考查了平行線的性質問題以及三角形的面積問題，能夠利用平行線的性質求解一些簡單的計算、證明問題．