Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，等邊△OAB的頂點O為坐標原點，B點坐標為（4，0），且△OAB的面積為4$\sqrt{3}$．點P從A點出發(fā)沿著射線AB運動，點Q從B點出發(fā)沿X軸正半軸運動，點P、點Q同時出發(fā)，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為x秒，過點P作PH⊥X軸于點H，設HQ的長度為y個單位長度．
（1）求A點的坐標；
（2）當點P在線段AB上運動時，取BQ的中點M，求HM的長度；
（3）在點P、點Q的運動過程中，當∠PQB=30°時，求點P、點Q運動時間x的值，并直接寫出此時H點的坐標．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥OB于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OH、AH，確定A點的坐標；
（2）作AE⊥OB于E，證明△BPH∽△BAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可；
（3）當點P在線段AB上時，由△ABO是等邊三角形，得到∠ABO=60°，推出△PBQ是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；當P在射線AB上時，連接PQ，由△ABO是等邊三角形，得到∠PBQ=∠ABO=60°，推出△PQB是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）作AH⊥OB于H，
∵△OAB是等邊三角形，OB=4，
∴OH=2，AH=2$\sqrt{3}$，
∴A點的坐標為（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）作AE⊥OB于E，
則PH∥AE，
∴△BPH∽△BAE，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BH}{BE}$，即$\frac{4-2t}{4}$=$\frac{BH}{2}$，
解得，BH=2-t，
∴HM=BH+BM=2-t+t=2；
（3）當點P在線段AB上時，如圖3，
∵△ABO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∵∠PQB=30°，
∴∠BPQ=30°，
∴∠PQB=∠BPQ，
∴PB=BQ，
即4-2t=2t，
∴t=1，
當P在射線AB上時，如圖4，連接PQ，
∵△ABO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠PBQ=∠ABO=60°，
∵∠PQB=30°，
∴∠BPQ=90°，
∴BQ=2PB，
即2t=2（2t-4），
∴t=4，
∴當t=1或4時，∠PQB=30°．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．