【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0,a、b、c為常數(shù))與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y軸交于B點(diǎn),A(﹣6,0),C(1,0),B(0,).
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與直線AB的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知點(diǎn)M(m,0)是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l,分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn),當(dāng)m為何值時(shí),△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?
(3)在(2)問(wèn)條件下,當(dāng)△BDE恰妤是以DE為底邊的等腰三角形時(shí),動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M',將OM'繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間);
①探究:線段OB上是否存在定點(diǎn)P(P不與O、B重合),無(wú)論ON如何旋轉(zhuǎn),始終保持不變,若存在,試求出P點(diǎn)坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②試求出此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,(NANB)的最小值.
【答案】yx2x,直線AB的解析式為:yx;(2)當(dāng)m=﹣4時(shí),△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形;(3)①存在,P(0,3);②.
【解析】
(1)根據(jù)A和C的坐標(biāo)設(shè)出兩點(diǎn)式,再代入點(diǎn)B的坐標(biāo),即可求出拋物線的解析式;設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,將A和B的坐標(biāo)代入求解,即可得出直線AB的解析式;
(2)根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),作BG⊥DE于點(diǎn)D得出GM=OB,代入求解即可得出答案;
(3)①假設(shè)存在,證出△NOP∽△BON得出即可得出答案;②結(jié)合①得出(NANB)的最小值=NA+NP,此時(shí)N,A,P三點(diǎn)共線,計(jì)算即可得出答案.
解:(1)設(shè)拋物線解析式為y= a(x+6)(x﹣1),(a≠0).
將B(0,)代入,得a(x+6)(x﹣1),
解得:a,
∴該拋物線解析式為y(x+6)(x﹣1)或yx2x.
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n(k≠0).
將點(diǎn)A(﹣6,0),B(0,)代入,得
,
解得,
則直線AB的解析式為:yx;
(2)∵點(diǎn)M(m,0),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn),∴D(m,m),
當(dāng)DE為底時(shí),如圖1,作BG⊥DE于G,則EG=GDED,GM=OB,
∵DM+DG=GM=OB,
∴m(m2mm),
解得:m1=﹣4,m2=0(不合題意,舍去),
∴當(dāng)m=﹣4時(shí),△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形;
(3)①存在,如圖2.
∵ON=OM'=4,OB,
∵∠NOP=∠BON,
∴當(dāng)△NOP∽△BON時(shí),,
∴不變,
即OPON4=3,
∴P(0,3);
②∵N在以O為圓心,4為半徑的半圓上,由①知,,
∴NPNB,
∴(NANB)的最小值=NA+NP,
∴此時(shí)N,A,P三點(diǎn)共線,
∴(NANB)的最小值3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=x2+bx﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)M.
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求∠OAM的正弦值.
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【題目】我們知道:有一內(nèi)角為直角的三角形叫做直角三角形.類似地我們定義:有一內(nèi)角為45°的三角形叫做半直角三角形.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(2,0),B(-2,0),D是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ADC=90°(A、D、C按順時(shí)針?lè)较蚺帕?/span>), BC與經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的⊙M交于點(diǎn)E,DE平分∠ADC,連結(jié)AE,BD.顯然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形.
(1)求證:ΔABC是半直角三角形;
(2)求證:∠DEC=∠DEA;
(3)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,8),求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】慈氏塔位于岳陽(yáng)市城西洞庭湖邊,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如圖,小亮的目高CD為1.7米,他站在D處測(cè)得塔頂?shù)难鼋恰?/span>ACG為45°,小琴的目高EF為1.5米,她站在距離塔底中心B點(diǎn)a米遠(yuǎn)的F處,測(cè)得塔頂?shù)难鼋恰?/span>AEH為62.3°.(點(diǎn)D、B、F在同一水平線上,參考數(shù)據(jù):sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)
(1)求小亮與塔底中心的距離BD;(用含a的式子表示)
(2)若小亮與小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為響應(yīng)“書香學(xué)校,書香班級(jí)”的建設(shè)號(hào)召,平頂山市某中學(xué)積極行動(dòng),學(xué)校圖書角的新書、好書不斷增加.下面是隨機(jī)抽查該校若干名同學(xué)捐書情況統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)根據(jù)下列統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)此次隨機(jī)調(diào)查同學(xué)所捐圖書數(shù)的中位數(shù)是 ,眾數(shù)是 ;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,捐2本書的人數(shù)所占的扇形圓心角是多少度?
(3)若該校有在校生1600名學(xué)生,估計(jì)該校捐4本書的學(xué)生約有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,2),點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,BA⊥x軸于點(diǎn)A,CD⊥x軸于點(diǎn)D.
(1)求這個(gè)反比函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求△ACD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 拋物線與軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n)與軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包 含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①;②;③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,總成立;④關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為
A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探測(cè)氣球甲從海拔處出發(fā),與此同時(shí),探測(cè)氣球乙從海拔處出發(fā).圖中的分別表示甲、乙兩個(gè)氣球所在位置的海拔(單位:)與上升時(shí)間(單位:)之間的關(guān)系.
(1)求的函數(shù)解析式;
(2)探測(cè)氣球甲從出發(fā)點(diǎn)上升到海拔處的過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻使得探測(cè)氣球甲、乙位于同一高度?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA(不包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),且滿足,.
(1)求證:;
(2)試判斷四邊形EFGH的形狀,并說(shuō)明理由.
(3)請(qǐng)?zhí)骄克倪呅?/span>EFGH的周長(zhǎng)一半與矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng)的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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