Question

【題目】閱讀理解與應(yīng)用:對式子x2+2x－3變形如下：x2+2x－3=x2+2x+1－1－3=(x2+2x+1)－4=(x+1)2－4．像這種變形抓住了完全平方公式的特點(diǎn)，先在原式中添加一項，使其中的三項成為完全平方式，再減去添加的這項，我們把這種恒等變形叫配方. 配方法是一種用來把二次多項式化為一個一次多項式的平方與一個常數(shù)的和的方法，它的應(yīng)用十分廣泛.請你嘗試解決下列問題：

(1)對式子x2－2x+2020進(jìn)行配方；

(2)已知2y－2x2－8x=y+10，求y的最小值；

(3)如圖，在足夠大的空地上有一段長為a(a≥250)米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個長方形菜園ABCD，其中 AD≤MN，已知長方形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄. 求長方形菜園ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (x-1)2+2019；(2) y的最小值為2；(3) 長方形菜園ABCD面積的最大值為1250平方米.

【解析】

(1)根據(jù)材料中給出的配方法進(jìn)行配方即可求得答案；

(2)先用含x的式子表示y，然后根據(jù)配方法得到y=2(x-2)2+2，再根據(jù)平方的非負(fù)性即可求得答案；

(3)設(shè)AB為x，長方形的面積為S，根據(jù)長方形面積公式列出S與x的關(guān)系，繼而利用配方法進(jìn)行求解即可.

(1) x2－2x+2020

=x2-2x+1-1+2020

=(x-1)2+2019；

(2) 2y－2x2－8x=y+10，

2y-y=2x2-8x-10，

y=2(x2-4x+4-4)+10

=2(x-2)2+2，

∵(x-2)2≥0，

∴y=2(x-2)2+2≥2，

∴y的最小值為2；

(3) 設(shè)AB為x，長方形的面積為S，則有

S=x(100-2x)

=-2x2+100x

=-2(x2-50x+625-625)

=-2(x-25)2+1250，

因為(x-25)2≥0，

所以-2(x-25)2≤0，

所以S=-2(x-25)2+1250≤1250，

即長方形菜園ABCD面積的最大值為1250平方米.