【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);
(2)如圖(1),在x軸上找一點(diǎn)E,使得△CDE的周長(zhǎng)最小,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)如圖(2),F(xiàn)為直線AC上的動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△AFP為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中y=0時(shí),有﹣x2﹣2x+3=0,

解得:x1=﹣3,x2=1,

∵A在B的左側(cè),

∴A(﹣3,0),B(1,0).

當(dāng)y=﹣x2﹣2x+3中x=0時(shí),則y=3,

∴C(0,3).

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴頂點(diǎn)D(﹣1,4)


(2)

解:作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C′,連接C′D交x軸于點(diǎn)E,此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小,如圖1所示.

∵C(0,3),

∴C′(0,﹣3).

設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b,

則有 ,解得: ,

∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3,

當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時(shí),x=﹣

∴當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣ ,0)


(3)

解:設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,

則有 ,解得: ,

∴直線AC的解析式為y=x+3.

假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)F(m,m+3),

△AFP為等腰直角三角形分三種情況(如圖2所示):

①當(dāng)∠PAF=90°時(shí),P(m,﹣m﹣3),

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3,

解得:m1=﹣3(舍去),m2=2,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣5);

②當(dāng)∠AFP=90°時(shí),P(2m+3,0)

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴0=﹣(2m+3)2﹣2×(2m+3)+3,

解得:m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0);

③當(dāng)∠APF=90°時(shí),P(m,0),

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴0=﹣m2﹣2m+3,

解得:m5=﹣3(舍去),m6=1,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0).

綜上可知:在拋物線上存在點(diǎn)P,使得△AFP為等腰直角三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣5)或(1,0).


【解析】(1)令拋物線解析式中y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點(diǎn)C坐標(biāo),利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C′,連接C′D交x軸于點(diǎn)E,此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小,由點(diǎn)C的坐標(biāo)可找出點(diǎn)C′的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式,令其y=0求出x值,即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)F(m,m+3),分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A、F點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)P的坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解方程求出m值,再代入點(diǎn)P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)),還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

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