新定義:若x0=ax02+bx0+c成立,則稱點(diǎn)(x0,x0)為拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)上的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)拋物線C的解析式為:y=ax2+(b+1)x+(b -1)(a≠0).
(1)拋物線C過點(diǎn)(0,-3);如果把拋物線C向左平移個(gè)單位后其頂點(diǎn)恰好在y軸上,求拋物線C的解析式及其上的不動(dòng)點(diǎn);
(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,實(shí)數(shù)a應(yīng)在什么范圍內(nèi),才能使拋物線C上總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)?                                           
(3)設(shè)a為整數(shù),且滿足a+b+1=0,若拋物線C與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1, x2,是否存在整數(shù)k,使得成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(1)y=x2-x-3,(-1,-1)和(3,3);(2)0<a<1;(3)-1或-2.

解析試題分析:(1)根據(jù)拋物線C過點(diǎn)(0,-3),把拋物線C向左平移個(gè)單位后其頂點(diǎn)恰好在y軸上,即可得到關(guān)于a、b的方程組,從而求得結(jié)果;
(2)由拋物線C有兩個(gè)不同點(diǎn)可得△>0,即b2-4a(b-1)>0,b2-4ab+4a>0,再結(jié)合b為任意實(shí)數(shù),且使得上式成立,可得(-4a)2-4×1×4a<0,整理得a2-a<0,即可求得結(jié)果;
(3)由a+b+1=0得b=-a-1,代入拋物線C得y=ax2-ax-(a+2),根據(jù)x1與x2是拋物線C與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得△=a2+4a(a+2)>0,即可求得字母a的范圍,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.
(1)由題意得,解之得 
∴拋物線為y=x2-x-3
令x=x2-x-3,解之得x1=-1,x2=3  
∴不動(dòng)點(diǎn)為(-1,-1)和(3,3);
(2)∵拋物線C有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),
∴x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)=0
∵拋物線C有兩個(gè)不同點(diǎn), 
∴△>0,即b2-4a(b-1)>0,b2-4ab+4a>0
∵b為任意實(shí)數(shù),且使得上式成立,
∴(-4a)2-4×1×4a<0,整理得a2-a<0,
從而得,解之得0<a<1   
∴實(shí)數(shù)a應(yīng)在0<a<1;
(3)由a+b+1=0得b=-a-1,代入拋物線C得y=ax2-ax-(a+2)
∵x1與x2是拋物線C與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)  
∴△=a2+4a(a+2)>0,解得a>0或a<
由根與系數(shù)的關(guān)系,得,x1+x2="1," x1·x2= ,
∴k=3+=3+=( a>0或a<,且a為整數(shù))
要使k為整數(shù),取a= -4、-3、-1、0,其中a= -1、0不合題意,舍去;
∴存在, .
考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合性
點(diǎn)評(píng):此類問題綜合性強(qiáng),難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•海寧市模擬)新定義:[k,b]為一次函數(shù)y=kx+b(k≠0,k,b為常數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”.若“關(guān)聯(lián)數(shù)”[1,a-1]的一次函數(shù)是正比例函數(shù),則二次函數(shù)y=x2-2x+a的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
(1,0)
(1,0)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀下面的情景對(duì)話,然后解答問題:
老師:我們新定義一種三角形,兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.
小華:等邊三角形一定是奇異三角形!
小明:那直角三角形是否存在奇異三角形呢?
(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義,請(qǐng)你判斷小華提出的命題:“等邊三角形一定是奇異三角形”這句話是對(duì)還是錯(cuò)?
對(duì)
對(duì)

(2)在Rt△ABC中,兩邊長分別是a=5
2
、c=10,這個(gè)三角形是否是奇異三角形?請(qǐng)說明理由.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇異三角形,求(b+c):a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

新定義:若x0=ax02+bx0+c成立,則稱點(diǎn)(x0,x0)為拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)上的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)拋物線C的解析式為:y=ax2+(b+1)x+(b-1),(a≠0)
(1)拋物線C過點(diǎn)(0,-3);如果把拋物線C向左平移數(shù)學(xué)公式個(gè)單位后其頂點(diǎn)恰好在y軸上,求拋物線C的解析式及其上的不動(dòng)點(diǎn);
(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,實(shí)數(shù)a應(yīng)在什么范圍內(nèi),才能使拋物線C上總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)?
(3)設(shè)a為整數(shù),且滿足a+b+1=0,若拋物線C與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,是否存在整數(shù)k,使得 數(shù)學(xué)公式成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)市九年級(jí)第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

新定義:若x0=ax02+bx0+c成立,則稱點(diǎn)(x0,x0)為拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)上的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)拋物線C的解析式為:y=ax2+(b+1)x+(b -1)(a≠0).

(1)拋物線C過點(diǎn)(0,-3);如果把拋物線C向左平移個(gè)單位后其頂點(diǎn)恰好在y軸上,求拋物線C的解析式及其上的不動(dòng)點(diǎn);

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,實(shí)數(shù)a應(yīng)在什么范圍內(nèi),才能使拋物線C上總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)?                                           

(3)設(shè)a為整數(shù),且滿足a+b+1=0,若拋物線C與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1, x2,是否存在整數(shù)k,使得成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案