Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)C（0，﹣8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，將△EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，作直線CD，點(diǎn)M是直線CD上的動點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B，F，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣8，D（1，﹣9）；（2）P（ ， ）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣ ， ）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a、c的值，從而得到拋物線的解析式，最后利用配方法可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）將y=0代入拋物線的解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由拋物線的對稱軸方程可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，由折疊的性質(zhì)可求得∠BEP=45°，設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入可求得b的值，從而可求得直線EP的解析式，最后將直線EP的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組求解即可；

（3）先求得直線CD的解析式，然后再求得直線CB的解析式為y=k2x﹣8，從而可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣a﹣8），然后分為MF=MB、FM=FB兩種情況列方程求解即可．

試題解析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，解得：a=1，c=﹣8，∴拋物線的解析式為．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）；

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0），

∵y=（x﹣1）2﹣9，∴拋物線的對稱軸為x=1，∴E（1，0），

∵將△EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對稱軸上，∴EP為∠BEF的角平分線，∴∠BEP=45°，

設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得： ，解得：x=或x=，

點(diǎn)P在第四象限，∴x=，∴y=，∴P（， ）；

（3）設(shè)CD的解析式為y=kx﹣8，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，

∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8，

設(shè)直線CB的解析式為y=k2x﹣8，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2，

∴直線BC的解析式為y=2x﹣8，

將x=1代入直線BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6），

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣a﹣8），

當(dāng)MF=MB時，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣， ）；

當(dāng)FM=FB時，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣， ）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．